Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 143

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 178 >> Следующая

1. Определение матрицы фаР. В двухкомпонентном случае для исследования
особенностей флуктуаций параметров при неравновесном фазовом переходе
также могут быть применены методы, рассмотренные в §§ 30 и 31.
При двухкомпонентном векторе В = (бь В2) матрица фаР имеет три
независимых элемента, матрица фаР7 - четыре, а матрица ФаЗт(r) ~~пять-
Обозначим их так:
^20 == Фи, = Ф12 = Фгь Ф*02 = Фгг',
Ф'зо = Фш, ^*21 === Фи2, 4*12 = Фш> г1Г02==Ф222! (32.1)
4*40 = ФиИ> ^31 - Фи12, Ф*22 :=: Ф1122, ^13 = Ф1222, ^04 - Фг222-
384
Матрица
и'""Ит: т::)=я" (32'2)
определяется из уравнений (30.11), которые эквивалентны системе линейных
уравнений (30.23). Введем обозначения элементов матриц, входящих в
(30.23):
= I), я = ('"), у. (32.3)
Подставляя (3) в (30.23), получаем систему из трех уравнений: ах |-"/ =
а, dx -f (а + b) у -f сг = р, dy + bz = у,
Решая ее, находим
л: = Л"1 {а [b (а + b) -cd] -$bc + ус2},
у = -Л-1 (abd - fiab + уас), (32.4)
г = Л-1 \ad2 - f>ad -f у [а (а b) - cd]},
где
Д = (а + b) (ab -cd). (32.5)
Перейдем от Я к обратной матрице
?:М; г-*-**и I)-
Используя (4), нетрудно получить
4% = (а + b) G"1 [ad2 - f>ad + у [а (а + b) -cd]},
Yu = (а + b) G~l (abd - Рab + уас), (32.6)
Тог = (а + b) G"1 }а [b (а + b) - cd] -рЬс + ус2},
где
G == a2d2 - Р2аЬ + у2с2 - Р (ad - ус) (а - Ь) +
+ ау (2ab -2cd + а2 + Ь2). (32.7)
В том случае, когда в критической точке 0 = 0С одно из собственных
значений аъ а2 матрицы А обращается в нуль, а другое не обращается,
выражение ab -cd стремится к нулю при 0 -> 0С, а сумма а + b -не
стремится. В колебательном случае, когда собственные значения а1у а3 -
чисто мнимые, стремится к нулю а + Ь, но не ab - cd. Наконец, когда в
критической точке оба собственные значения аг (0С), а2 (0С) равны нулю,
имеем
а + b 0, ab -cd ->¦ 0 (32.8)
при 0 -> 0С. Указанные свойства выражений а + b, ab -cd позволяют
несколько упростить формулы (6), (7) вблизи критической точки. Так, в
случае (8), если
ad - Ра - ус Ф 0
13 р, л. Стратонович 385
при 0 = 0С, можно пользоваться формулами Ч'го = (а + b) d (ad - (to -
ус)-1,
Чгц = (а + Ь) b (ad - (to - ус)'1,
Ч'ог = -(<2 + Ь) с (ad - ра - ус)'1.
В случае (8), как и в колебательном случае, рассмотренном в п. 31.7,
матрица (2) исчезает по мере приближения к критической точке.
2. Вычисление матрицы третьих производных фару* ^та матрица
определяется уравнением (30.13), причем вместо фсчАи v'l'va = vaa можно
взять двучлен, стоящий в правой части (30.32). В том случае, когда все
элементы матрицы исчезают в критической точке, вместо (30.13) можно
пользоваться более простым уравнением
^ааФсгЗу 4~ ^РаФсгау "Н ^уаФсгар = ^ару> (32.9)
где
2аРу == '|ад^д, ру !' Фрд^д, ау "Г Фуд^-д, аЗ (32.10)
(более высокие степени элементов фар опущены). По аналогии с первым
равенством (3) введем обозначение
К"1 = Ц J- (32.11)
Подставляя (11) в (9) и производя суммирование, а также учитывая (1),
получаем уравнения
2а0х1 + с0х2 = zb d0xг + (а0 + Ч2Ь") х2 + с0х3 = г2;
dgX2 -f- (bg -f- 1/гйо) Хэ c<>Xi - Z3, (32.12)
d0x3 + 2b0xi = z4.
Здесь
X\ - ?*,, x2 - 27и, xa = 2ЧГ12, Хц = ?03, zi - 2/згш - 2W20kh n |-
2xV11k2 n, z2 - zu2 = 24Vei, 12 !' 2'iruk2i 12 |- ^02^2, ix 4~ 11.
Z3 = Z122 = ^20^1, 22 !' ^11^2, 22 4" 2W02k2i 12 -)- 24f11?1> 12,
Z4 = 2/3Z222 = 2 'i!nkli 22 "Ь 2^02fe2, 22-Решение уравнений имеет вид
xt = lim D~lMijZj, (32.13)
0-"ec
где D, Mu -определитель и алгебраические дополнения матрицы
2Aq (-о
d0 (ао + 1!гЬ о)

0
386
Предел в (13) добавлен потому, что нас интересуют производные от
квазисвободной энергии в критической точке 0 = 0С. После несложного
расчета получаем
D = г [ 2 (а0 + b0f + г],
= г (ао -f- 5l?0/2) -f- &о> -Л^44 = г фа --|- 5go/2) -f- do,
/И22 = 2а0 (2ba f г), М3з = 2Ь0 (2"о + 0>
yWi2 = -do(2&o + r), М34 = - do (2"о г), М2з = -4aobodo,
M\3 - 2bod^, M'2i = 2dod^, Мц = -do,
где r = a0b0 - c0d0. Значения Мц равны Mtj при замене с0 на d0 и
наоборот.
Итак, уравнения (9), (12) легко решаются, в результате чего могут быть
найдены фар.,,. Стоящий в (13) предельный переход проводится по-разному в
различных частных случаях.
3. Особенности флуктуаций параметров в критической области при
двухкомпонентном фазовом переходе первого рода. Если в результате
имеющегося в (13) предельного перехода 0->0с получаются ненулевые
производные V30, Ч^, Ч,12) Ч'оз, то данный фазовый переход является
переходом первого рода.
При не слишком больших отклонениях b-x = Ва - Ва можно пользоваться
выражением
wФ) - const-exp { -(2х)-1(фар&а&р + 1/зФарЛ^)}> (32.14)
определяющим стационарное распределение параметров. Вводя полярные
координаты р, ф формулами
Ь-l = р sin ф = рпъ b2 = р cos ф = рп2, (32.15)
выражение, стоящее в правой части (14) в экспоненте, можно записать так:
- (2х)-1 [g (ф) р2 + y3f (ф) р3] = - vrxU (р, ф),
где
g (Ф) = Фа{Лхф = Чг20 Sin2 ф + 24f11 sin ф COS ф + Чг02 cos2 ф, з / (ф) ^
Фар/Wb =
= Ygo sin3 ф -)- 34^1 sin2 ф cos ф + 34f12 sin ф cos2 ф + Чг03со53ф.
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed