Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
энергия при этом будет равна сумме энергий типа (10), (12)
w = Vs 2 J {fff? (Of + [ff? (Of) cU =
s -oo
oo
= V2]j J [gs ((r))g?(-(c))H-gsHffs(-CO)] cfco. (33.13)
s -oo
В случае, когда к рассеивающему телу подведены волноводы, в качестве s
следует брать пару (с, /), где i - номер волновода, а I - номер моды в
нем. Предполагается, что формула типа (13) по-прежнему имеет место. Эта
формула уточняет определение числовых или операторных функций g" (t), gi
it) или gГ (со), gys (со). Для спек-400
тров (11), взятых при разных s, в силу (9) справедливы перестановочные
соотношения
[g?H. gM(r) )] = [gl ((r))> gl'((r)')] = - йсоб (со -)- со) 6SS.. (33.14)
2. Случай волн в трехмерном пространстве. Рассмотрим теперь
рассеивающий слой, изображенный на рис. 33.2 в случае электромагнитного
поля. Поместим начало координат на границе слоя и направим ось z, т. е.
/-3, наружу перпендикулярно слою. Представим поле Е (г) при z > 0
интегралом
?а(г) = (р/е)1/4(2я)-3/2 j exp(ikr)ga(k)dk, a = l, 2, 3. (33.15)
Здесь
ga(k)=
OO
= (2л)-3''2 (в/р)1 /41 dz exp (-ik3z) J dx dy exp [- i (kxx -j- k2y)] Ea
(r). о
Если теперь учесть изменение поля Е (г) со временем, то вместо (15)
следует взять разложение
Еа (г, 0 = 2~1/'2 (р/е)|/4 (2л)~3/21 {ехр [г (kr + kvt)] gl (k) +
+ exp [г (кг - kvt)] gl (?)]} dk. (33.16)
Здесь
& - | /г? + &2 -|- k\ |l/2 sign k3, (33.17)
так что множитель exp [г (kr + kvt) ] описывает волну, идущую к слою, а
множитель ехр [i(kr - kvt) \ - волну, идущую от слоя; v - (ер)-1/2 -
скорость волны, а (р/е)1/4 = Rl/2, где R - волновое сопротивление.
Сравнивая (15) с (16) при / = О, видим, что
ga (к) = 2~1/2 (к) + ga (Л)]. (33.18)
Чтобы произвести разбиение величины ga (k) на два указанных слагаемых,
следует, конечно, учесть разложение типа (15) для поля Н (г) и уравнения
Максвелла. Однако нам нет надобности проводить соответствующие выкладки.
Введем вектор п - k!k единичной длины. В силу (17) его z-ком-понента п3
неотрицательна. При помощи него выражение kr + kvt можно записать в виде
k (nr + vt).
Переходя к сферическим координатам, имеем
dk = k2d | k | dQ = k2d | k | sin ft dt} d<p,
причем '0 пробегает значения от 0 до я. Ограничим значения й неравенством
0 < '0 < я/2, но допустим отрицательные значения k (эти значения нужны
для того, чтобы аргумент со = kv в равенстве типа (13) мог принимать
отрицательные значения). Тогда
и разложение (16) можно записать так:
Еа(г, 0 =
оо
= (/?/2)1/г(2л)"3/2 [ dQ, [ dkk2 (ехр [ik(nr -\-vi)]gl(k, п) -[-
п3> О -00
+ ехр [ik(nr - vt)]gl(k, п)) (33.20)
при z > 0, где
ga(k, п) = ga(kn) = ga(k), gl(k, ft) = gl(ktt) = gl(k).
Аналогичным образом можно представить поле Е (г, t) но другую сторону от
рассеивающего слоя, т. е. при z < -d, где d - толщина слоя. По аналогии с
(20) будем иметь
(г, t) =
ОО
= (/?/2)1/2(2л)~3/2 j dQ, j dk k2 (exp [ik(ttr -)- vt)g(tm)(k, tt)-\-
n 3<0 -oo
+ exp [ik(rtr - vt)]gy,(k, ti)) при z<-d. (33.21)
Формулы (20) и (21) можно объединить в одну, если провести интегрирование
по всему развернутому углу, равному 4л, не ограничивая значения п3.
Рассмотрим энергию поля по одну сторону от слоя:
m+> = V2 j [e?J+ !*//*]dr.
z> О
Чтобы не вводить в рассмотрение магнитного поля, будем пользоваться более
простой формулой
U7i+,= [ ?E2dr (33.22)
z>0
и пренебрегать перекрестными произведениями типа gngy. Вследствие (15) из
(22) имеем
w[+^ = (vn)ll2\ga(k)ga(-k) dk или, если подставить (18),
Wi+) = 42v~l j [*? (k) gl(-k) + gl (k) gl (-*)] dk.
Преобразуя этот интеграл по схеме (19), находим
00
U7<+)=l/2t-1 j dQ J [gl(k, ft) ga (-k, n) +
0 -OO
+ gn (k, rt) gl (-k, n)] k2 dk.
Энергия поля по другую сторону слоя определяется аналогичным интегралом,
но по значениям п3 < 0. Полная энергия задается интегралом
оо
№i = 1/3у-1 J j [gl(k, n)gcx(-k,rt)Jrgl(k, n)gl(-k,n)]k2dk -00
403
По всем возможным значениям п3. Полученное выражение имеет вид (13), если
под s понимать пару (п, а), а временные спектры gna ((о), gna (со)
определять так:
gna((0)=toV~2ga((*/V, П), gna (w) = U>V~2gZ ((О/О, й). (33.23)
Наряду со спектрами (23) можно рассматривать временные функции
gna (i) - (2я)-1/2 J ехр (Ш) gla И da =
= (2л)-1/2 J ехр (ikvt)ga(k, ri)kdk
и аналогично для g%a (/)•
Поскольку электромагнитные волны поперечны, векторы ga'y(k,n), gna.y (со)
должны быть перпендикулярны й, т. е. должны выполняться равенства
gnaV(k, П) па = 0, gnaV (со) Па - 0. (33.24)
Анализ показывает, что в квантовом случае имеют место перестановочные
соотношения
[gl(k, п), gl(k', n)] = - [gl(k, п), gl(k', й')] =
= - hkv4 {kn + k!tl') 6a3. (33.25)
Учитывая формулу
6 {kn + k'n') = k-Ч {k + k') б (я - n'), (33.26)
где б (й - и') определяется равенством
J б (й - й') ф (й') ей' = ф (й)
(сШ' =dn'), из (25) и (23) легко получить KaH. gn'p(ffl')] = [gL(co),
gn'P (<0#)] =
= -йсоб (со -f- со') б (й - й') ба3.
Следовательно, в данном случае справедливы соотношения (14) при s = (й,
а).
3. Введение функций рассеяния U1>2.._n. Процесс рассеяния
