Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
описывающие указанную схему. Отсюда получаем
Q = (Ж - V)/R -f (F), (31.29)
где V - Q/C. При учете флуктуации ? вместо (29) следует рассматривать
уравнение
q = (g-V)/R -/(F) + ? (Q, t)
или соответствующее ему кинетическое уравнение. При этом будем иметь
Кг (Q) = R-1 ($ - Q/C) - / (Q/C), (31.30)
376
Стабильная тонка Соответствует равенствам К, (Q) = 0, (g- V)IR = / (К).
При изменении cf или Р в системе возможен неравновесный фазовый переход.
При этом в соответствии с (30.21) одновременно должны выполняться
равенства
дЧ1дВх = 0, фи = 0.. (31.31)
Разлагая выражение в (29.9) в ряд Тейлора и отбирая члены, линейные по В
- 5°, легко убедиться, что из равенства (ду?/дВ)в=в-= 0 вытекает формула
Кг (В°) = 0. Второе же равенство из (31) согласно (1) эквивалентно
соотношению kul --- 0 или dRi (Q)/dQ= = 0 при 0 = (c)с. Итак, в критической
точке одновременно справедливы равенства
Кг (В) = 0, dKi (Q)ldQ = 0. (31.32)
В силу (30) и (28) имеем
Кг (Q) = -d{V3 -bV2 + [с + l/(d?)] V - &/(dR)\, V= Q/C.
Это выражение можно представить в виде
Кг (Q) = -d (у3 - 3ру + 2q), (31.33)
где
у = V - Чф, 3р = Чф3 - с - (dR)-\ q = Чф [с + (dR)-1] - (Ь/З)3 -S (2dR)-\
Используя (33), уравнения (32) записываем в виде
у3 - 3py + 2q = 0,y2~p = 0. (31.34)
Совместное решение этих двух уравнений имеется при условии р3 = q2. '
(31.35)
Оно равно Ус = <71/3
(в чем можно убедиться подстановкой), причем при q < 0 корень q{/3
понимается как -(-<?)1/3.
Первое уравнение (34) при условии (35) имеет корни
У г = У 2 = -Уз/2 = <7,/3- (31.36)
Будем предполагать, что значение р = (Ь/3)2 -V3 [с + (dR)-1 ] > > 0
фиксировано, а меняется $, т. е. q. Равенство (35) дает два критических
значения qc = ±р3/2 ¦
В диапазоне -рУ2 < q < р3>2 возможны два стабильных значения Q, т. е.
имеет место мультистабильность. Поскольку вследствие
(36) имеем
у3 - 3ру + 2qc = (у - Ус)2 (у + 2ус), первое уравнение (34) при
произвольных q можно записать в виде (У -*/с)а (У + 2рс) + 2 (q-q0)= 0.
(31.37)
377
Вблизи критической точки множитель у + 2ус можно поменять на 3у{. и из
(37) получить
% (У - Ус)2 = 2 (<7С - q) (31.38)
(yc = ql/3). Уравнение /Сх (Q) = 0, принимающее вид первого равенства
(34) и (38), определяет стабильную точку г/" или стабильное значение Q0=
CV0 = С (у0 -j- Ь/3). Из (38) получаем
0о = 0с + [2(<7с-<7)/30с1,/2- (31.39)
Учитывая равенство (33), где у = Q/C -bi3, нетрудно найти значение Ьь1 =
dKiidQ в стабильной точке у0:
k\, 1 = С~1 dK\!dy = - 3dC~' (yl - р) ж - 6dC~'yc(yo - ус).
При помощи (39) получаем
ku , = - 2 /&dC-x yxJ2 \qz - q |!/2. (31.40)
Нетрудно найти также и более высокие производные:
/2i,n = - МС^ус, /21,111= - 6 dC~3. (31.41)
Зная указанные производные (40), (41), по формулам (1), где ku, ku, i
определяются свойствами шумов, нетрудно найти значения 4*2, ?3, 4V В
данном примере Ч^ Ф 0, поэтому имеет место фазовый переход первого рода,
описанный в п. 3, и можно применять приведенные там формулы.
Если Ж = 0, то имеется единственное стабильное значение Q = 0,
соответствующее термодинамическому равновесию. По мере увеличения Ж при
выполнении условия
g/{2dR)<(b/G)[c+l/(dR))-(b/3yi-p№, т. е. у>р3-2,
стабильное значение смещается, но остается единственным. Это множество
стабильных значений можно назвать равновесной ветвью. При критическом
значении
ЖС1 = 2dk {(Ь/6) [с + 1 /(dR)] - (Ь/3)3 - /Я/2}, т. е. q = р3<2,
появляется второе устойчивое стабильное значение Q = С (ус + Ь/3), Ус -
дающее начало неравновесной ветви. В диапазоне
т. е. -p3/2<q<p3/2,
имеется как равновесная, так и неравновесная ветвь. При втором
критическом значении
Жс2 = 2УЯ{(Ь/с)[сфИ№)]-(Ь/3)3фр3/2\, т. е. q = -p3!2,
равновесная ветвь пропадает, и при Ж>ЖС2 остается только неравновесная
ветвь. Наличие равновесной и неравновесной ветвей устойчивых состояний
характерно для многих неравновесных систем.
378
7. Колебательный двухкомпонентный случай, сводящийся к
однокомпонентному. Если вектор В внутренних параметров имеет две
компоненты Въ В2, то система в пренебрежении флуктуациями описывается
уравнениями
х = ах + су + Л (х, у), у = dx -f by -f f2 (x, у), (31.42)
где x = B\ - B°i, у = В> - В\, /и /2 обозначают нелинейные по х, у члены.
При двухкомпопентном фазовом переходе возможны такие частные случаи: 1)
матрица
-А= \\ка,,\\ = (уь) (31.43)
в критической точке 0 = 0С может иметь одно нулевое и одно ненулевое
собственное значение, 2) матрица А может иметь два нулевых собственных
значения и 3) матрица А может иметь два чисто мнимых собственных значения
"1 ((c)с) = f'w, а 2 (0С) = -(м Ф 0)-
В этом случае а -ф b = 0, о2 = -а2 - cd >0.
Именно этот последний случай, называемый нами колебательным, мы здесь и
рассмотрим.
В критической точке уравнения (42), если в них отбросить нелинейные
члены, имеют решение
х (/) = х0 cos соt + со-1 (ах0 + су{)) sin со/,
- у (t) = со-1 (dxо -ауо) sin соt + уи cos со/, (31.44)
что можно проверить непосредственной подстановкой. Здесь х0, у0 -значения
