Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
w (z) = const-exp {- l/2z-3 '(6^) l/2z3 -
-V24x1/3 (2/(ЗК))2/3 ?^4/3?4z4) , (31.19)
оо
I 2 л
ОО
(31.20)
оо
(2л)-1'2 j ехр (-z2/2) z2ldz = (2l- 1)!!.
- оо
373
Вычислив корреляторы от г и учитывая (18), находим корреляторы (В, В) =
х2 3 (2ДЗХ))1 3 УГ2/3 (г, г),
(В, В, В) = х(2/(ЗХ))1/2ЧТ'(г, г, г), (31.21)
(В, В, В, В) = х4/3( 2/(3X)f3 W4/s (г, г, г, г)
исходного параметра В. Для ориентировочной оценки входящих сюда
корреляторов от г приведем полученные при помощи (20) простые
асимптотические формулы:
(г, г)=1.+2/(ЗХ) + О (Г2),
(г, г, г) = - 21-'2(ЗЛ.)-Ь'2[1 +0(^>)], (31.22)
(г, г, г, г) = 2/Х f О (X-2),
так что
Та = - (2/(ЗХ))>/2 п .ь о ъ == (2Д) [1 + о (Я-')].
Конечно, при крайних значениях X, соответствующих границе относительной
стабильности, нужны более точные вычисления.
Из (21) видим, что в критической области корреляторы внутреннего
параметра имеют порядок х2/3, х, х4/3 соответственно. Следовательно, в
критической области флуктуации параметра В, так же, как и в случае
фазового перехода второго рода, аномально велики и существенно
негауссовы, хотя величина флуктуаций несколько меньше, чем в случае
перехода первого рода. Оценку (В, В, В, В) ~ х4/3 для перехода первого
рода следует сравнивать с оценкой (В, В, В, В) ~ х для перехода второго
рода. Последняя вытекает из (3) и соотношения (у, у, у, у) ~ 1 (см.
(12)). Вне критической
области корреляторы (5, В), (В, В, В), (В, В, В, В) имеют по-
рядки х, х2, х3 соответственно.
4. Область, промежуточная между фазовыми переходами двух родов. Если
значения 'Ё3 малы, а именно, имеют порядок х1/4, а также, кроме того, ?4
> 0, то имеет место случай, промежуточный между фазовыми переходами
первого и второго родов. Область подобных значений *F3 назовем
промежуточной. При этом, совершая замену переменной (3), распределение
w (В) = const-ехр {-(2х)-1 (В - Я0)2 +
+ З-1^ (В - В0)3 + (12)_1ЧГ4 (В - Я0)*]}
можно привести к виду
w (у) = const-ехр (-а у2 - ay3 - V2 у4), (31.23)
где ст = V,, (12/Чг4)3/4х~1/"р,3, В данном случае средний квадрат г/2
вычисляется по формуле
ОО
J ехр (-ау2 - ауя - ^г^4) У2 dy
(у>) = ^_-----------------------------
j ехр (-ауг - ау3 - 1/г</4) dy
374
более сложной, нежели (10). То же самое относится и к более высоким
стационарным моментам, более сложен и подсчет коэффициентов (11). Однако,
поскольку распределение (23) не зависит от х явно, имеем (у2) ~ 1; (у, у,
у) ~ 1, (у, у, у, у) ~ 1, и из (3) немедленно вытекают оценки
(В, В) ~ х1-''2, (В, В, В) ~ х3/4, (В, В, В, В) ~ х.
Двойной и четверной корреляторы имеют тот же порядок, что и в случае
фазового перехода второго рода, тройной же коррелятор при Д'з Ф 0 уже не
равен нулю.
5. Другая разновидность фазового перехода первого рода. Предположим
теперь, что ТРз -= 0, но ^ < 0. Тогда вместо (14) следует рассматривать
функцию
и ф) = Ч,Ч>ф2 + 1 ф ^ В - В0).
Условие ее экстремума имеет вид
чф + 4даз .== о,
откуда находим
Ъг = 0, Ь2 = (-6W?4)l/2
и
так что в соответствии с равенством X - Лп/х имеем
Х = А u/x = -3/2x-1W22/Vi. (31.24)
Вводя переменную г - (ЧУх)1/2 Ь, т. е.
2 - 12/3 (Ш) |Т4|]1/4 (31.25)
и учитывая (24), вместо распределения w (b) = const-exp (-и (В)/х)
получим распределение
ш (г) = const-exp [-z2/2 + г4/ 16Х],
которым следует пользоваться "по эту сторону водораздела", т. е. в
диапазоне -2^'/2 <г <2^1/2. Моменты и корреляторы удобно
вычислить при помощи интегралов
2 Ух
Jh (X) = (2л)-1/2 J zk ехр (-z2/2 -|- z4/16A) dz =
-2 УХ
2 УХ
= (2л)-1/2 j ехр (-z2/2) zfe [1 f z4/16X -f 4/a (г4/16Я)2 -|-----] dz.
-2 VT
(31.26)
Используя их, в частности, получаем
(г, г) = 1 + ЗД4А) + О (Х~2), (г, г, г) = 0,
(2, г, 2, г) = 3/(2Х) -f О (Г2)
375
и, следовательно, в силу (25) имеем
(В, В) = (Зк/2ку/21 +4 |-'/2 [1 + 3/4А, + О (Л,-2)],
(В, В, В) ~ О, (В, В, В, В) = - (Зк/2Ц\'?4\-1(3/2к ~\-0(Х-2)),
Та = 0, = (6/Х) (1+0 (Лг1)), (31.27)
где к > 3. При относительно малых значениях к, близких к границе
стабильности, вычисление корреляторов при помощи (26) следует проводить с
большей точностью. Величина флуктуаций и степень их негауссовости в
критической области к ~ 3 в данном случае такая же, как в случае фазового
перехода второго рода, описанного в п. 1.
Рис. 31.3
6. Пример однокомпонентного фазового перехода: схема с туннельным
диодом. Рассмотрим цепь, состоящую из источника тока, резистора R и
туннельного диода, параллельно которому включен конденсатор емкостью С
(рис. 31.3). Туннельный диод, как известно, имеет падающую вольт-амперную
характеристику (рис. 31.4). Аппроксимируем ее многочленом
/ = f (У) = d (V3 -bV2 + cV), (31.28)
где b, с, d > О, b2 - 3с > 0. Экстремумы этой функции лежат в точках
= */, [Ь - (Ь2 - Зс+2], V2 = Ч*[Ь + (b2 - Зс+2],
причем первая точка соответствует локальному максимуму, а вторая -
локальному минимуму.
Если через /0 обозначить ток через сопротивление R, а через Q заряд на
конденсаторе, то будем иметь уравнения
$ = RI0 + Q/C, I = f (Q/C), Q = I0 -1,
