Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
описываться уравнениями
А
B|XpY + D,
(31.57)
2X + Y^3X, X^G,
1 и и
d [XVdt = кг [A] - (k2 [В] + кл) [X] + k3 [ХР [Y], d [Y]/dt = k2 [В ] [X]
- ka [XP [Y],
(31.58)
381
являющимися частным случаем уравнений (8.4). Здесь буквы в квадратных
скобках обозначают молярные концентрации. Описанная модель получила
название брюсселятора, так как была предложена учеными брюссельской
школы.
Вводя обозначения
fii = (W/2[X], fi2 = (W/2[Y],
т = (h/k,) [В], п = ki (k3/kl)U2 [А], т = k4t, (31,59)
уравнения (58) можно привести к виду
dBi/dx = я - (т -f 1) В\ + В\В2, dB2/dx = тВ\ - В\В%. (31.60)
Приравнивая нулю правые части, находим стационарную точку В0: В\ = п, В°2
= яг/я. (31.61)
Обозначая х = Вi -В\, у = В2 -В2 и подставляя равенства Вг = я + х, В2 -
т/п + у в (60), получаем
х = (т - 1) х + п2у + [(т/п) х2 + 2пху + х2г/ ],
у = -тх -п2у - [(т/п) х2 + 2пху + х2у ],
где точка обозначает производную по т. Полученные уравнения служат
конкретизацией уравнений (42); в квадратных скобках стоят нелинейные
члены, образующие в сумме /х и /2. Итак, в данном случае имеем
а = т - 1, b = -/г2, с = я2 > 0, d -т.
Собственные значения матрицы (43) таковы:
"х, 2 = 7г (т - 1 - П2) ± г [п2 - (V2 (т - 1 - я2))2]1/2.
Отсюда видим, что критическая точка соответствует равенству
т - 1 - /г2 = 0,
и в ней ai,2 = ±гсо, (о = л (2я3 -{- 1)1/2. При яг - 1 - /г2 <0
стационарная точка (61) является устойчивой; при яг - 1 -л2>0 она
неустойчива. Потеря устойчивости соответствует рассмотренному в
предыдущем параграфе колебательному фазовому переходу.
В соответствии с (45) и (47) амплитуду колебаний можно определить
формулой
А2 = у2 + л-2 (л2 + tn - 1) ху + я_2ягх2 "
" у2 + 2ху + (1 + л-2) х2.
При этом уравнение (50) примет вид л = А + _i. х, + 2"9 +
Сюда в правую часть следует подставить (48), т. е. х = я2со"М sin at,
у = A [cos соt - ((яг - l)/co) sin at ] " A (cos соt - л2со-1 sin at),
382
и произвести усреднение за период. При этом члены (т/п) х- 4 2пху не
окажут влияния на результат усреднения. Усреднять за период следует
выражение
(л2Л)"4 х3у = л4со~3Л5 sin3 со/ (cos соt - л2 со-1 sin соi).
Его среднее равно-(3/8) л2Л3. Поэтому уравнение (55) принимает вид А = т-
12~п2 А л°аГ4Л34-?.
Предположим, что коррелятор (? (/4), ?, (t2)) после усреднения за период
имеет вид
<?&), = (31.62)
где N -положительная постоянная. Тогда, решая стационарное уравнение
Фоккера-Планка или уравнение (30.15), получим
w (А) = const -ехр [ - -^г ( -сГ + 1 Л2 + 4~п6ы~>Л4)] '
т. е. W2 - {ti2 - т -f 1) {N)~\ 4F3 = 0, ?4 = 9л(r)/(2Усо4). В роли
параметра 0 может выступать т или л (в последнем случае Y2
=
= 2 (л-n0)n0N. Данный фазовый переход является переходом второго рода,
описанным в п. 1; для него справедливы формулы
(7), (9), (12).
При л2 -т 4~1 < 0, но не слишком далеко от критической точки, стабильная
точка Л() определяется из условия
Nd~W (А)/дА = (л2 -т-\- 1) Л 4- 3/4nVM8 - 0,
т. е. равна Л0 = 2-3-1/2л-3 со2(/л - 1 -л2)1/2. Производя разло-
жение в этой точке, имеем
w (Л) = const-exp {-(xNy1 \{т - 1 -л2) (Л -Л0)2 4~
+ 3/4л6со_4Ло (Л - Л0)3 + 3/1вл8со-4 (Л - Л0)4]}.
Следовательно, распределение типа (30.37), описывающее устойчивость
колебательного режима, имеет вид
w (Л) = const-exp {-(2х)~4 Г*Р2 (л) (Л -Л0)2 4-
+ V3T3 (лс) (Л - Л0)3 + 4/12?4 (лс) (Л - Л0)4]}, где 4Р2(л) = 4(лс -
л)лс/У, 41гз(Яс)=0, (лс) = 9лс/(2Д4о4).
Видим, что исчезновение колебательного режима также является фазовым
переходом второго рода типа перехода, описанного в п. 1.
Для данного примера нетрудно рассчитать и величину константы N в (62),
описывающей интенсивность флуктуационных воздействий. Флуктуационные
уравнения имеют вид
d[X]/dt = ... + |о (0. dlYVdt = ... + Ло (0.
383
где точки обозначают члены, выписанные в (58). Поскольку шумы So, "Чо в
данном случае носят чисто дробовый характер, учитывая (57), имеем
(ёо Ki) ?о (^2)) =
= (yVAl/)-! \к [A] -f {К [В] -j- kt) [X] + ka [X]2 [Y]} 6 (fia),
(Ло (^i) Ло (^2)) = (31.63)
= - <?o(*i) Ло(У) = (^Ai/r {К [В] [X] + k3 [Xf [Y]} б (Аз).
Здесь все члены в правой части взяты со знаком +, поскольку дробовые шумы
при встречных потоках складываются. Множитель (МаК)'1 появился' по той
причине, что IX], [Y] есть молярные концентрации и при появлении или
исчезновении одной молекулы они изменяются на величину ±(МАУ)-1.
Учитывая равенства (59), (61), из (63) находим корреляторы шумов S, Л,
входящих в (54), как функции времени т
(IЫ, S (та)) = 2 k0 (1 + ^ [В]) [А] б (т12),
(л(П), Л Ы) = - <1 (п), лСп)) = (31.64)
= (Л/аУ)-1 hk3kl{ 1 + [В] )[А] б (т,2).
Конкретизируя равенство (56), имеем S = S (и-1 sin сот + cos сот) + Г|
cos сот.
Отсюда при учете (64) нетрудно получить (62), где kN = 1/2(YaK)_I kxk3k\{
1 ± 2со-2 (1 + W [В]) } [А].
В роли малого параметра х в данном случае выступает (УдЮ-1 или некоторая
пропорциональная величина. Если на систему действуют внешние
флуктуационные воздействия, параметр х может быть и больше.
§ 32. Флуктуации параметров вблизи двухкомпонентного фазового перехода
