Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(В, В) = х (d^W/dB2)-1 ~ *, (31.8)
что может быть получено при помощи гауссовой аппроксимации распределения
(29.2). Дисперсия флуктуаций в критической области, по порядку равная
значению (7), при малых х значительно превосходит значение (8).
При помощи распределения (4) можно рассчитать поведение дисперсии
(В, В) = (12х/Ч;4)1/2 (г/2) =
оо I ОО
= (12х/Ч'4),/2 | ехр (-ау2 - у4/2) y2dy j ехр (-ау2 - г/72) dy (31.9) о
I о
370
в критической области. Используя формулу (9.241.2) справочника [11],
нетрудно получить
оо I со
(У2) ~ J ехР (-ах - х2/2) х>/2dx I j ехр (-ах - х2/2) х-'/2dx =
D
-3/2
(а)
(31.10)
0,5
<г>
г г г"
Рис. 31.1
(31.11)
2D_[/2 (а)
где Dj (а) - функции параболического цилиндра.
Зависимость (у1) от а, рассчитанная по формуле (10), показана на рис.
31.1.
2. Негауссовы свойства флуктуаций параметров вблизи фазового перехода
второго рода. В критической области (5) флуктуации параметров не только
аномально большие, но и сильно негауссовы. Важнейшими характеристиками,
описывающими отклонение распределения от гауссова, в однокомпонентном
случае являются коэффициенты асимметрии и эксцесса:
(в, в, В) __ (в, в, в, В)
Уа " (В, Bf2 ' Уэ ~~ (В, Bf •
В случае распределения (2) коэффициент асимметрии равен нулю, а
коэффициент эксцесса совпадает с соответствующим коэффициентом (у, у, у,
у)/(у, у)'2 для величины (3). Используя формулы (1.10), нетрудно
убедиться, что его можно записать в форме
причем
ОО I оо
(г/4) = J ехр(-ах - х2/2)х3/2dx/ J ехр (-ах - х2/2)x~'/2dx.
о I о
Применяя ту же формулу, что и при вычислении (10), получаем (г/1) = 2 /
4Z)-5/2 (a)/D__,/2 (a) (31.12)
и, следовательно,
-5/2 (а)В_ 1/2 (а)
Уэ
Dt
-•ill
(а)
3.
(31.13)
Для самой критической точки по аналогии с (6) нетрудно получить
(г/1) = 2Г(74)/Г(1/4)=0,5, у3 = - 0,812.
Зависимость (13) уя от а показана на рис. 31.2. Видим, что в критической
области коэффициент эксцесса является величиной порядка единицы,
следовательно, флуктуации сильно негауссовы.
371
Вне критической области, воспользовавшись формулами (29.13), можно
получить
dir? / d'l'V \-а Ъ~ Х dB4 [dB* ) 1
Отсюда видно, что уэ вне критической области имеет порядок и, что
значительно меньше, чем величина, указываемая выше (предполагается, что х
< 1).
Прежде чем переходить к фазовым переходам первого рода, отметим, что
принятая в (2) аппроксимация
~Уэ
0,5
Г (В)
V24'2 (В - В0)2 + V24Y4(B
So)1
квазисвободной энергии при Ч1^ = а (0 - -(c)с) типична для
феноменологической теории Ландау равновесных фазовых переходов второго
рода.
3. Фазовый переход первого рода в однокомпонентном случае. Предположим
теперь, что Ч^т^О. Тогда следует рассматривать выражение
/ г Рис. 31.2
V (В) " ? (В0) +
VoW
¦'да,
где b .- В - В0. Найдем точки его экстремума. Приравнивая нулю
производную, получаем уравнение
Ч,Ь + + V.V = о
(Тз = Т3с, ^4 = ?4с). При малом Ь, что связано с малостью 4f2 вблизи
критической точки, вместо него можно взять более простое уравнение
W2b -f Vg'Fsba - О,
которое имеет корни Ьг - 0 и Ь.2
и (b) = V24'2b2 +
равна нулю при b
~2Ta/IV Функция
О и равна ^Ч^Ч^2
(31.14)
при b ~ -2ЧУЧГ3. При малых b функция и (Ь) мало отличается от Ч*1 (В)-
Ч*1 (В0), поэтому высоту "водораздела" можно находить, используя и (Ь). В
точке b = 0 функции и (b), Ч*1 (В0 + Ь) имеют локальный минимум, что
соответствует метастабильному состоянию, а в точке b = -2ЧУЧга = = Ь2
лежит "водораздел", причем его относительная высота равна
Аы = 2/з^?3"2>0. (31.15)
Эта величина положительна, поскольку Чг2 > 0.
Чтобы метастабильное состояние, соответствующее значению b - 0, могло
существовать более или менее долго, отношение
% = АиЫ In [w (0)/ш (b2) 1, (31.16)
372
Которое определяет среднее время жизни системы в этом состоянии не должно
быть слишком мало. Условно будем считать, что мета-стабильное состояние
"достаточно устойчиво", если выполнено неравенство
Аи/х 3,
и, следовательно,
w (Ь2) = ехр (-3) ш (0) " w (0)/20.
Конечно, вместо 3 можно было бы взять какое-либо другое число, скажем, 4
или 2,5. Тогда в нижеследующих формулах нужно было бы произвести
соответствующие изменения.
Из (15) и (16) получаем, что
типа (30.37) в критической области, определяемой условием X ~ 3, то % >
3. Вводя переменную
где малый (в силу малости х) член, содержащий х1/3, можно опустить.
Конечно, формулой (19) можно пользоваться только "по эту сторону от
водораздела", т. е. следует полагать
w (z) = const-exp [-V2z2 - V3 (6Я)~1/2г3|
при z > -(6А,)'/2,
w(z) = 0 при z <z - (6А,)'/2.
Данное распределение нужно использовать для вычисления корреляторов (,г,
г), (г, г, г), (г, z, z, z), не зависящих от х и являющихся функциями от
X. При этом удобно рассматривать интегралы
>Р2 = (3/а"Л),'3Ч'Г, Х^З. Рассмотрим теперь распределение
з >
w (b) = const-exp 1-(2хДЧ^Ь2 + l/:iY3b3 + VuW]} (31.17)
z = (Wx)' '2 b sign W3 = (ЗК/2)1/б x~U3Yfb sign 4f3 (31.18)
и используя равенство Х = 213л?\х?32к~х, вместо (17) будем иметь
