Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
Процедура квантования хорошо известна, если выписан классический гамильтониан. Для этого достаточно постулировать, что переменные q и p являются операторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям
[?fco. ^V 1 = іЬКЛї- (6.38)
После этого все результаты разд. 6.2 можно интерпретировать в терминах квантовой теории света, если только с вниманием отнестись к упорядочению операторов. Комплексное сопряжение для чисел нужно заменить эрмитовским сопряжением для операторов.
Как принято в квантовой теории, определим операторы
(6.39)
Непосредственное вычисление показывает, что они удовлетворяют коммутационным соотношениям
(6.40)
Таким образом, а* и а — это бозонные операторы рождения и уничтожения, приводящие к появлению или уничтожению кванта возбуждения в гармонической осцилляторной моде (ко).
Подстановка PhQb выражение (6.18) показывает, что ака — квантовый аналог коэффициента C^o. При этом оператор векторного потенциала есть
A(r',) = ^v 27la*°e*'e'k" + aLWk-rI. (6.41)
aov 0 к ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
281
Выразив из уравнений (6.39) аиа' через P vi Q vi подставив их в выражение (6.20), для полной энергии находим
H = \ Lhwk(akaa\a + а\аако)
L ко
= I:ч(«и. + і). (6-42)
ко
где a\aaka— оператор числа заполнения моды (к, а). Возникающая в (6.42) расходимость (член Ewt/2; есть энергия нулевых колебаний, от которой в дальнейшем мы будем вести отсчет энергии.
Импульс поля вычисляется из выражения для плотности импульса
П = E0E X В, (6.43)
пропорциональной вектору плотности потока энергии (вектору Пойнтинга) S=ExH. Вычисляя полный импульс, находим
P = fnd3r = 2>kk[ck„-a + CL-C4o]. (6.44).
J ко
Здесь члены типа
EkutCt-Clt = O (6.45)
были опущены, так как суммирование нечетной по к функции дает в результате нуль. Заметим также, что
с, x(kxci) = kcrq-(k.ct)cl
= kCt-Cj. (6.46)
Оператор импульса можно выразить через а и a
P = L^keI0Afte. (6.47)
ко
В отличие от энергии импульс равен нулю при нулевых числах заполнения. Выражение (6.47) полностью согласуется с нашим качественным представлением о фотоне как о частице. — каждый фотон, т. е. каждая мода поля (к, а), обладает импульсом /гк.
19—504 282
ГЛАВА 1.
В дипольном приближении калибровочное преобразование (6.35) не зависит явно от времени, но переменную А нужно считать полевым оператором. Можно записать
x= -At= + A*xkaafka), (6.48)
ко
где
= (6-49)
Преобразование координат частицы остается прежним:
р' = e-i4x/bpeW = р+ qVx = P - q\ = т\ ,
г' = г (6.50)
но операторы поля при калибровке изменяются:
a'ka = e-^hakae'^h = aka-4[x.aka]
к° h V 2е0икУ
(6-51)
При этом легко определить вид преобразованного гамильтониана (энергии поля)
= + 'ЯГ'Т. J ТгЬ чЛа'ка - а'ко)
ко ко V ^eOy
+ я21>-о
ко
2 1
2e0V
O2T2 г
= Hf- qr-E + JyfL- (6.52)
О ко
В этом выражении появился правильный член взаимодействия и бесконечное слагаемое — собственная энергия диполь-диполь-ного взаимодействия заряженных частиц. Последний член вновь может быть опущен, так как он не является полевым оператором. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
283
6.4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПО ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Воспользовавшись результатами зависящей от времени теории возмущений, вычислим, во-первых, скорость спонтанного распада с уровня 12) на уровень II). Известное выражение для скорости переходов есть
где — энергия излучаемого фотона.
Пусть в начальном состоянии атом находится на уровне 12), а моды поля не возбуждены. В конечном состоянии заселен атомный уровень II) и для фотона (к, ст) имеем Пка — = ^ тогда в дипольном приближении (6.32), кэк
и в (6.37), получаем
Гко =-F\Kf\24«2 - "к ~ "l) h
(6.53)
</|F|/) = (1,^0 = 1|?A-p|2)
т
~ L <1. Пко = l|U*'e*v'Pe*V + АкЛк^ -P<4v)l2>
= ~Ак(1\ека • р|2) = еАк(\\гко • г|2) - - ieu2lAkx
'21^**12. (6-54)
Из соотношения (6.41) находим
(6.55)
Используя (6.53), получаем полную скорость распада
г-E Е^^Кі-«*)
V
е'х
fT-A^E"*!"*.-r^2
7Г) Й80 о
sfk
с
с
(6.56) 284
ГЛАВА 1.
л л
Так как Ek • k = 0, где к — единичный вектор вдоль к, то
r = E («*„•>¦)«*„ +(кт)к
(6.57)
и, следовательно,
1(е„т)2 = гт-(кт)2 = г2{ 1 - cos20).
(6.58)
Таким образом, интеграл в правой части (6.56) легко вычисляется:
fdU(l - cos20) = 2тг]"(1 -cos20)rf(cos0) = -y. (6.59)
Тем самым определяется и искомая скорость Г из (6.56), а именно
Г =
2 2 3 Є г12и21
3 TTE0Hc3
(6.60)
Это выражение мы уже приводили в (1.113). Так как в (6.53) входит б-функция (б(со21 — COjt)), тот же результат можно получить, используя оператор взаимодействия — ех ¦ Е. Это легко проверить с помощью соотношения (6.37).
Подчеркнем, что скорость спонтанного излучения можно получить лишь в рамках квантовой теории. Полуклассический подход здесь бессилен.
Сдвиг уровней, связанный с квантованием поля, легко получить во втором порядке теории возмущений. Если требуется определить сдвиг уровня IЬ), нужно вычислить следующую величину:
