Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
ко ко
Из (6.12) легко получить
O=P - дНк° , (6.21а)
Kko Гко ЯР 1 0Гко
Pko= -^kQko= -^r- (6.216)
0Vko
Если (6.20) интерпретировать как сумму гамильтонианов гармонических осцилляторов, то Pka и Qka являются каноническими переменными этих осцилляторов. Представление поля в таком виде позволяет наиболее легко осуществить квантование (см. разд. 6.3).
Замечание. Мы не вычислили плотность энергии продольного поля. Из решения (6.6) находим
Тогда энергия U1 есть
U11= ^e0Jd3rVy Vtp= - ~2 Jd3r<pV2q>
!/,з / W ч 1 rd3rd3r' p(r')p(r) = -fSnp(TMr) = -J 4ff?o p^Y- (6.23)
Как и следовало ожидать, U1 есть энергия кулоновского взаимодействия между зарядами системы. Выражение (6.23) содержит и бесконечную часть (собственную энергию), и энергию взаимодействия между зарядами, приводящую к образованию нейтральных частиц. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
277
Взаимодействие между веществом и полем должно быть включено в полный гамильтониан системы. Учитывая это, имеем
H = - „А)2 + U11 (г) +1 UpL + O2kQ2k.). (б-24)
ко
Сумма потенциальной (I/,) и кинетической энергии определяет связанные состояния (для простоты мы рассматриваем лишь одну заряженную частицу — электрон, q = - е).
Гамильтоновы уравнения движения в этом случае имеют вид
Qka = Pko - 19 Y-tka(e,k-' - е(6.25а) 2 UkJe0V
Ко = -U2kQka + -^=ytko(e>k" + е~л"). (6.256) Ip0V
Записывая их для амплитуды поля Cka, получаем
Cka = ~шкСка + (б.26)
IukJe0V
Отсюда для напряженности поля E получаем
IЕ(х) = Еик(Ское^ - С*ае ) dt {eQV ко
VeO^ к а
Z?0K Aa
= C2V X В(х) - — v5(x - г). (6.27)
eO
Здесь мы использовали соотношение полноты для собственных векторов поля 278
ГЛАВА 1.
а также тот факт, что v — это поперечный вектор, пропорциональный E1. Плотность тока для одной частицы есть
j(x) = qvS(\ - г). (6.29)
Здесь г — это оператор координаты частицы, ах — координата точки, поле в которой нужно определить, (х есть с-число (вектор)). Магнитное поле можно определить непосредственно из равенства
JkCkoe^= -c2V2{Ckae'^)
= C2V x(v x(C,0e,k'x)). (6.30)
Таким образом, рассматривая Pka и Qka как динамические переменные, мы получаем из гамильтониана (6.24) уравнения Максвелла.
Если размеры атомной системы гораздо меньше волны
|х| « X, (6.31)
то экспоненты во всех выражениях можно заменить на единицу
= г (6.32)
и векторный потенциал можно вычислить в точке расположения атома, например в начале координат: А — Л(0). В тех случаях, когда используются такие соотношения, говорят о дипольном приближении. Произведем теперь калибровочное преобразование над векторным потенциалом. Фаза волновой функции при этом изменится:
у = j (6.33)
Здесь X определяет А' и <р'(6.3). Как легко показать, при таком преобразовании 'форма уравнения Шредингера не изменится (см. разд. 1.3).
Так как х — действительная функция, преобразование (6.33) является каноническим. В новом представлении гамильтониан имеет вид
H' = Н(р - q\ - q VX) " 4^ ¦ (6.34)
Последний член в (6.34) можно рассматривать как калибровочное преобразование скалярного потенциала. Если в дипольном ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
279
приближении выбрать
X=-AT, (6.35)
то новый потенциал есть
H' = H(p) + qT'\ = Н(р)-ЧГ'Е±. (6.36)
В этом гамильтониане частица связана с полем за счет дипольного взаимодействия (оператор d = qt есть оператор дипольного момента). В низшем порядке теории возмущений два представления эквивалентны, так как для любых состояний 1и> и 1и'> имеем
<И
Ap
m
и'> = A(n\r\n') = -iw„„,A(n\r\n')
= -iwA(n\r\n') = A(n\r\n') = -(n\rE\n'), (6.37)
где использовано резонансное условие « = «„„-1'- Для описания процессов высших порядков необходимо использовать точные выражения для преобразованных векторов состояний. Дипольная форма взаимодействия, использованная нами всюду в книге, наиболее удобна при рассмотрении связанных состояний.
До сих пор мы рассматривали поле только классически. Разложение по собственным модам и запись гамильтониана с использованием переменных Pka и Qka есть лишь необходимый для квантования предварительный шаг.
В выражении (6.28) мы использовали собственные моды свободного пространства. Как уже отмечалось, разложение можно было проводить и по собственным функциям резонатора произвольной формы (уравнение (1.21)). При этом совершенно аналогично возникали бы координаты осцилляторов, но амплитуды относились бы к различным собственным конфигурациям поля.
"Вопросу о применимости р А или г-Е формы взаимодействия посвящена обширная литература. Укажем на недавнюю'работу Becker W. — Opt. Comm., 1985, v. 56, p. 107, где доказывается эквивалентность разных представлений во всех порядках теории возмущений. — Прим. перев. 280
ГЛАВА 1.
После квантования необходимо считать, что фотоны заполняют различные моды поля, но эти состояния можно получить линейным преобразованием тех собственных функций, которые определяются выбранным нами методом.
6.3. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
