Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
(b\V\s)(s\V\b)
Д Eh
Eb Es
(6.61)
Подставляя в (6.61) виртуальные уровни Is) с одним возбужденным фотоном, получаем
Д Eh
I
а, к. а
ек • р
т
а,пка = 1) Inka= 1,а
еА'р
2Е0(2тт) аа
Zjd-'
Hwb - Hwa - hwk
«L К*|е*„-Ф>|2
иЬа
(6.62) ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
285
где мы использовали соотношения, полученные в этом разделе.
Интеграл (6.62) линейно расходится при больших к: jdk — оо. Как показал Бете, для устранения этого противоречия необходимо учесть вычисленную в том же приближении энергию свободного электрона:
Д?о= I
ака
(b\—А-р|а, ка)(ка, а|— А- р\Ь) m ____m_
-Aw1.
е_ 2е
d3k 2 \(b\tka-r\g)\2 3 ha ,.2
E / Г3 шЛа 0 ао (2w) »u*
(6.63)
Тогда для разности энергий (6.62) и (6.63) получаем
Д? = Д?л - Д?0 =
+
2e0(2w) аа 1
J О) к
Wba - Wк "к
2e0(2w) , J ul \"ba J
(6.64)
Интеграл по угловым переменным в правой части вычисляется так же, как в (6.56) — (6.59). Окончательно получаем
Д ?
67T2E0C3 а
LUharIbf
Jn
к dk
° к
6 W2B0C3
I"3
hrub In
сК
(6.65)
Интеграл здесь расходится лишь логарифмически, и параметр обрезания К определяется из условия К < mc/h, так как мы пренебрегли релятивистскими эффектами. 286
ГЛАВА 1.
Для вычисления суммы в (6.65) воспользуемся равенствами
г 1
И(ыаЬГаь) («„ - Wft) = -77 T.Pah(Eu ~ Eb)
1
lmlh ,T1
Z{b\Zp,[H,p,\\b)
he
Im' ,-
Ub
д\
дх}
he
Im2
frh(x)V2<p*h(x)dix. (6.66)
где <p — кулоновский потенциал центрального заряда Ze. Но лапласиан <р есть плотность заряда, т. е.
а 2т с,.
(6.67)
где Фь(0) — волновая функция состояния фь, вычисленная в точке с координатами ядра. Окончательно для сдвига уровней получаем
Д E =
ZheA
сК
UlT2E2C3m2
(6.68)
^ft(O)I2In
cOl "' I шЬа
где LOha — средняя энергия возбуждения. Это результат Бете для квантового сдвига уровней.
Особый интерес представляют уровни водорода 2Sin и 2Pxn, вырожденные в теории Дирака. Естественно, что для них сдвиг (6.68) различен, так как в нерелятивистской теории /7-волна не достигает начала координат (IJp(O)I = 0) и сдвигается только s-уровень. Для него
Если Z= 1 и п = 2, то
^2-Ж
(6.69)
. „ в тсл Д? = —-In
07Г
сК = 135,821п сК
^ba Uha
(МГц), (6.70)
где а — постоянная тонкой структуры (е2/^vEQhc). ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
287
Если для К использовать верхнюю оценку mc/h, а для Hul экспериментально известную величину
то из (6.70) получаем AE = 1040 МГц.
Эта нерелятивистская оценка находится в прекрасном согласии с экспериментально измеренным лэмбовским сдвигом между состояниями 2Sw2 и 2Pur Более точные расчеты, учитывающие релятивистские эффекты, также прекрасно подтверждаются экспериментом. Целая серия подобных вычислений доказала жизнеспособность квантовой электродинамики, несмотря на многочисленные расходимости, возникающие в теории. Последовательная теория перенормировки позволяет исключить все сингулярности, а остающиеся конечные выражения определяют наблюдаемые в эксперименте величины.
6.5. ОПИСАНИЕ СПОНТАННОГО РАСПАДА
В УРАВНЕНИЯХ ДЛЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
Как мы показали в предыдущем разделе, возбужденное атомное, состояние может распадаться с излучением фотона в вакуум. Полуклассическая теория не может описать этого эффекта, так как все переходы в ней определяются лишь воздействием внешнего поля.
В спектроскопических экспериментах спонтанно испущенные фотоны чаще всего не регистрируются. Поэтому нас будет интересовать лишь воздействие спонтанного распада на уровни атома. Ранее мы без доказательства считали, что уход энергии из атомной системы за счет излучения носит характер диссипатив-ного процесса. Здесь мы выведем уравнения для матрицы плотности с учетом членов, описывающих спонтанный распад. Релаксация матричных элементов возникает за счет взаимодействия с резервуаром, роль которого в нашем случае играют нулевые колебания (квантовые флуктуации фотонного вакуума).
Редуцированная матрица плотности для атома определяется взятием следа от полного оператора
heOn0 = En-E2s= 242,2 эВ
п
(6.71)
(6.72) 288
ГЛАВА 1.
Для конкретности рассмотрим двухуровневую систему и ограничимся только теми состояниями из гильбертова пространства квантованного поля, которые содержат не более одного фотона. Тогда (6.72) переписывается в виде
Par = <0|р|0) + L<<7IPI<7), (6.73)
ч
где 10) — вектор вакуума, a Iq) обозначает состояние с одним фотоном в моде q. В определение (6.72) входят, конечно, и состояния с более чем одним фотоном, но, как можно показать, они в нашем случае несущественны.
Рассматриваемый гамильтониан имеет вид
Я = Асо21|2><2| +aEVW
ч
+ /AlM?)(l 2)a4(l\-\l)al(2 |). (6.74)
а
Легко понять, что в этой записи уже использовано приближение вращающейся волны. Из соотношений (6.14а), (6.39), (6.18) и (6.36) получаем для константы связи
М<7) =
h
hug 2e0V
1/2
(6.75)
Нас интересуют лишь состояния 10, 1), 10, 2), Iq, 1) и I<7, 2). Единственный ненулевой недиагональный элемент гамильтониана есть
