Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
'JtPll4 = ("21 ~ U4 ~ ~ A^12^ '"' ~ Р22^ ~ 'x^pZt
(6.100а)
iJtPu4 = -?,Pn» + 'Гр22</ ~ - Є"'°'Р]2J - 'М<7)Р|2 ,
(6.1006)
'JP^4= "(0, + <Т)р11ч - j-htnE(e-%llq - (6.100в)
'~Р,2,= -(ач + а2і+і\г)рі2Ч-^і2Ее'а,(Рпч-Рі1й). (6-100г) ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 297
Заметим, что из-за наличия оператора at в уравнении (6.98) Px2q ф (р219)*- Использование ПВВ осуществляется подстановкой
puq = ^aipuq pnq = e,a'?22q
pnq ^ e2,a'pnq p2lq = p2lq
pn = pneia' (6.101)
В стационарных условиях получаем уравнения
v + Д - — а а 0 Pnq pn
— а а v 0 гГ v - <Т а — а puq pnq = iKq) pn 0 г
0 а — а v - - Д - pnq 0
(6.102)
где для удобства введены обозначения
Д = ы21-Я, v = a = Y^fil2E. (6.103)
Здесь Д — отстройка лазерной частоты от частоты перехода, V — частота спонтанного излучения, отсчитываемая от О, а а — константа связи с сильным полем.
Из этого уравнения получаем P21q, а значит, и наблюдаемую величину (6.92). Для этого достаточно найти обратную к (6.102) матрицу. В правую часть уравнения (6.102) нужно подставить решения р22 и р 12, получаемые из уравнений для двухуровневой системы в сильном поле:
ijtpn = rpn - а(рп - pu), (6.104а)
ijtpn = (д - 'їг)р2і - «(Pu - pu), (6.1046)
P22 + Pll = 1- (6.1055
В этих уравнениях использовано ПВВ и включены члены, описывающие спонтанный распад (разд. 6.5). Стационарное решение
20—504 298
ГЛАВА 1.
(6.104) есть
а2
Pu = ——;-Ti-Г > (6.106а)
A2 + (Г/2)2 + 2а2
А + I12T А + i\Г p21 = а—-\- = -=—р • (6.1066)
А + (Г/2) + 2а2 « Р22
Их и нужно подставить в правую часть (6.102).
Матрица в (6.102) сингулярна при v = 0, т. е. ее детерминант равен нулю. Это легко доказать, если заметить, что при v = 0 вторая строка с точностью до знака равна третьей. Этот факт отражает наличие рэлеевского (упругого) рассеяния. При этом частоты падаюшего излучения и детектируемого равны: ? = Qq. Таким образом, рэлеевская сингулярность проявляется независимо от насыщения в двухуровневой системе.
Наличие пика упругого рассеяния легко объяснить с помощью классического аналога. Атомный диполь возбуждается внешним полем и осциллирует с его частотой. Индуцированный диполь излучает, и частота этого излучения совпадает с частотой внешней силы.
Величина р 2, при v—0 не зависит от рг2, и ее можно найти непосредственно из (6.102). При этом
- _ іа\(д)(А +іТ/2) .
Pllq Г , ч2 .1 Pll
Д + (Г/2) + 2а J
= ТгМзОІРгіІ2' (6.107)
где мы использовали (6.1066). Для наблюдаемой величины (6.92) получаем
W = -2 X(^)2Ip21I2Re
Ч-0
V-I Г)
27T\h, \(q)p21\2S(hv). (6.108) ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
299
Наш классический пример полностью подтвердился. Выражение (6.108) есть квантовомеханическая скорость излучения осциллирующего диполя h\(q)p 21, и б-функция обеспечивает выполнение закона сохранения энергии при рассеянии.
В пределе малых интенсивностей (а — 0) получаем
2тг \h\a\2
W„
-Mhv).
(6.109)
h Д2 + (Г/2)2
С учетом (6.106а) этот результат по форме совпадает с полученным ранее (6.93). Отличие лишь в том, что в данном случае частота испускаіемого излучения в точности равна частоте внешнего поля. Это строгий результат, следующий из точного закона сохранения энергии для падающих и излученных фотонов. И в начальном, и в конечном состояниях атом находится на основном уровне. Так как при этом он не может распадаться, его энергия фиксирована, откуда и получаем соотношение между начальной и конечной частотами поля. Если нижнее состояние не основное, пик упругого рассеяния уширяется за счет конечной ширины нижнего уровня.
При больших интенсивностях (а > ІДІ, Г) двухуровневая система насыщена, и источником спонтанного излучения является заселенность верхнего уровня. На каждом из уровней атом проводит примерно половину времени (см. разд. 2.2). Тогда из (6.106) получаем
Pu ~
I 2'
Pn ~ ~
(6.110)
Для простоты рассмотрим случай точного резонанса (А = 0) сильного внешнего поля с двухуровневой системой. Детерминант матрицы в (6.102) есть
4а
і Г
4 а2
•Зг ' 2
(6.111)
Используя предположение (6.110), легко получить выражение для P2lq:
¦U \ "["2 ~ 12Tf - 2а2]
Pnq ='Ня)---- ---
D
'Pu-
(6.112) 300
ГЛАВА 1.
Здесь, как и в (6.111), членами порядка Г2 по сравнению с а2 мы пренебрегли. Множитель V сокращается, и можно записать
v(v2 - i\Yv - Ixx2) 1 D ~ 2
1
1
1
+
1
2а - г'1Г / 2 U + 2а -
1
(6.113)
здесь мы оставили только главные члены по а. Используя это соотношение в (6.112) и подставляя результат в (6.92), получаем
W-^S-" 2
1
+ -г
ЗГ/4
v2 +(Г/2)2 21(*>- 2а)2+(ЗГ/4)2/
af——11
2 I (v+ 2af +(ЗГ/4)2 /J Результирующий спектр имеет форму, схематически показанную на рис. 6.3 для больших а. Расщепление между двумя боковыми
РИС. 6.3. Спектр резонансной флуоресценции (спонтанного излучения в присутствии сильного поля), получаемый в эксперименте, схема которого представлена на рис.6.2. Центральный пик в 3 раза выше боковых максимумов, которые в свою очередь в полтора раза шире. Этот спектр существенно отличается от предсказываемого теорией возмущений низшего порядка. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
