Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
(0,2\H\q, 1) = ihX(q). (6.76) Уравнения для матрицы плотности имеют вид
^<0,2|р|0,2> =IM<7)«<7,1|P|0,2> + <0,2|р|<7,1», (6.77а) ч
^(0,2|р|0,1) = -ш21<0,2|рР,1> +1М<7)<<7Л|р|0,1>, (6.776)
ч
^(<7,1|р|<7,1> = -М<7)«0,2|р|<7,1> + <<7,1|р|0,2», (6.77в) ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
289
^<<7,1|р|0,2> = /(CO21 - ?j<«7,l|p|0,2>
-Л(^)<0,2|р|0,2> +LHq')(q,l\p\q',l). (6.77г)
ч'
Пока эти уравнения не замкнуты (в правые части входят не только те матричные элементы, для которых записаны производные по времени). Используем здесь предположение об эквивалентности поля излучения нерегулярному резервуару. При этом можно пренебречь матричным элементом {q\p\q'), описывающим когерентность различных фотонных состояний при q Ф q'. Если излученное поле необратимо покидает систему, такая когерентность не приводит к наблюдаемым эффектам. Из уравнения (6.77г) получаем
<<7,1|р|0,2> = -Hq) foexp[i(co21 - 0,)(/ - t')}
X(0,2\p(t')fi,2)dt'. (6.78)
Для упрощения этого выражения требуется еще одно приближение. А именно, учитывая быструю осцилляцию экспоненты в правой части (6.78) при t Ф t', вынесем матричный элемент за знак интеграла, положив С = (. Остается вычислить интеграл
fdt'eK"2.-0,)('-'')= Г^те/(«21-й,)т (6 79)
Jo J0
Для этого нужно учесть, что при больших временах интеграл (6.79) должен иметь определенное значение. Следуя методу теории рассеяния, добавим к частоте малую мнимую часть irj. После вычислений нужно положить Tj = 0. Тогда
i-t 1 - р-ч'р'("2і-?)' Ге'(« 21-а, + 'ч)ут= _i_t_1_
л) /'((o21 - u4 + if])
У/у
- /7Г5(со21 - ?,)
(o21 - ?,
, (6.80)
где использовано известное представление 6-функции. Символ 290
ГЛАВА 1.
.'SV означает главное значение в смысле Коши. Окончательно для (6.78) получаем
<<7,1|р|0,2> = -i\(q)
TrS(U)21 - ? )
<>21 -
<0,2|p|0,2>. (6.81)
Это выражение вместе с комплексно ему сопряженным нужно подставить в (6.77а). Для вычисления р22 из (6.73) нам нужно и уравнение для <q, 2\p\q, 2), но этот член связан только с матричными элементами типа <q, 2\p\q, q', 1), которые содержат двухфотонные состояния Iq, q'). Для самосогласованности мы должны этими членами пренебречь. Из (6.73), (6.77а) и (6.81) находим
P22=-Fp22 , (6.82)
где
Г = 27^((7^5(0?! - Qq). (6.83)
ч
Подставляя вместо Х(<7) выражение (6.75), видим, что константа Г действительно равна скорости спонтанного распада (6.56). Для простоты мы не рассматривали в явном виде вырождения, связанного с поляризацией. Учет этого факта приводит к равенству (6.60).
Рассмотрим теперь матричный элемент р21, связанный (см. (6.776)) с <<7, IIpIO, 1). Так же как и при выводе (6.78), получаем
(Я' 1|р|0,1) = 2|p(?')j0,1) dt'. (6.84)
Здесь матричный элемент <0, 21р(?')10, 1) нельзя выносить за знак интеграла, так как он содержит быструю зависимость от времени . Однако величина
(0,2|р(/)|0,1)е'"21' = е'"21'(0,2\p(t') |0,1) (6.85) изменяется медленно, и
<?,l|pp,l> = -\(q)(0,2|p(r)|0,1)
X a^c-OcIt'
"о
(6.86) ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
291
Отсюда, как и при выводе (6.80), получаем
<<7,1|р|0,1) = -iX(q)
- /VS (<о21 - ??)
(0,2|р|0,1).
(6.87)
Аналогичную процедуру можно провести и для матричного элемента <<?, 2\p\q, 1>. Тогда, подставляя (6.87) в (6.776), находим
~р21 = -/(w21 + aw)р21 - ^tp21, (6.88)
где константа Г та же, что в выражении (6.83). Сдвиг частоты
Д(0 = -pVv (6-89)
, йЧ - "21
эквивалентен лэмбовскому сдвигу для двухуровневой системы. Представляя сумму (6.89) в виде интеграла, получаем формальную расходимость на верхнем пределе \q2dq. Рассматривая лишь два уровня из полного базиса атомных состояний, мы не будем обсуждать процедуру регуляризации и в дальнейшем этим сдвигом пренебрежем.
Осталось написать уравнение для диагонального элемента матрицы плотности Pu-B выражении (6.73) нужно рассмотреть лишь члены, стоящие под знаком суммы, так как <0, 1 Ip10,1) не связан с полем.
Из уравнения (6.77в) видно, что нам нужны лишь элементы, уже вычисленные в (6.81). Суммируя все g-моды, находим
Pn = Tp22, (6.90)
что и следовало ожидать для спонтанного распада. Таким образом, уравнения (6.82), (6.88) и (6.90) определяют релаксационные члены, использованные нами ранее феноменологически в (1.110)—(1.112). В этом частном случае когерентность распадается медленнее, чем заселенность. Множитель 1/2 в (6.88) отражает тот факт, что только состояние II) в р21 может спонтанно излучать. 292
ГЛАВА 1.
Таким образом, учет степеней свободы квантового поля приводит к релаксации атомных переменных, если рассматривать поле как резервуар, когерентность между состояниями которого не поддерживается1*.
6.6. РЕЗОНАНСНАЯ ФЛУОРЕСЦЕНЦИЯ В СИЛЬНОМ ПОЛЕ
В предыдущем разделе мы рассмотрели влияние спонтанного распада лишь на сам атом. Предполагалось, что излученный свет покидал систему. В то же время измерение его спектра может дать дополнительную богатую информацию.
Чтобы понять, что является наблюдаемой величиной при использовании спектрально селективного счетчика фотонов, нужно вычислить вероятность возбуждения фотонного состояния I <7> после распада. Эта величина определяется матричным элементом <q, lip I q, 1>. Скорость счета фотонов пропорциональна производной по времени от (q, Wp\q, 1>. Поэтому в эксперименте можно измерить
