Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
множества различных чисел X* и им соответствующих, не равных нулю функций
Vk (х), удовлетворяющих уравнению
V'iix) + [Х*Р(*) -?(*)] УкОс) = 0 (25)
и условиям на концах
Vk(b) = aVk(a) + pVk(b), (26)
V'k(a) = yVk(a) + &yk(b), или
Ук(Ь) = рУк(а), (26,)
У'к(Ь) = oV'k(a) + TVk(a).
Числа \k (к = 1, 2, 3, . . .) мы будем называть характеристическими
числами, а соответствующие им функции
И*(дг)(*= 1, 2, 3, ...)
- фундаментальными функциями, причем функции, подчиненные предельным
условиям (26), будем называть фундаментальными функциями первого класса,
а функции, удовлетворяющие условиям (26,) - фундаментальными функциями
второго класса. Соответственно этому предельные условия (26) назовем
предельными условиями первого класса, а условия (26,) - предельными
условиями второго класса.
16. Мы уже видели, что для вопросов физики представляют интерес лишь те
случаи, когда функция U(t, дг), определяемая рядом (23), дает единственно
возможное решение задачи, в частности, когда в условиях первого класса
постоянные а,р, у и 6 удовлетворяют условиям (14) (п. 9), а постоянные р,
о и т в предельных условиях второго класса подчинены условиям (15) (п.
10). Мы показали также, что во всех основных задачах теории тепла эти
условия действительно выполняются (см. п. 11). При этом, напомним,
предполагается, что в уравнении (25) функции р(х) и q(x) остаются
непрерывными и неотрицательными в промежутке [а, Ь].
Физический смысл задачи налагает еще другое ограничение на изложенный
нами метод, приведший к изображению искомой функции под видом ряда (23)
(п. 13). Ясно, что во всяком теле, замкнутом или незамкнутом, помещенном
в среду с температурой нуль, температура его U(t,x) не может возрастать
беспредельно с возрастанием времени; для незамкнутого тела (прямой
стержень, стержень, изогнутый в незамкнутую кривую) температура U(t, х)
должна стремиться к нулю; для тела замкнутого (сплошное кольцо и т.п.)
температура его U(t,x) должна стремиться, Вообще говоря, также к нулю с
возрастанием t или, когда лучеиспускательная способность
*) Придерживаюсь терминов, употребленных мною в 1910 г. в мемуарс "Sur
l'existence des fonctions fondamentales" (R. Accad. dei Lincci, 1910).
74
(или внешняя теплопроводность) его боковой поверхности равна нулю *), к
некоторому определенному постоянному пределу.
Если изложенная теория не противоречит действительности, то из выражения
(23) для U(t, х) должны обязательно вытекать только что указанные
следствия. Эти последние действительно будут иметь место только тогда,
когда для рассматриваемых нами задач математической физики все
характеристические числа X* окажутся неотрицательными, что с очевидностью
вытекает из самого выражения (23) для температуры U(t, х).
Найдем условия, при которых эти требования действительно выполняются.
Умножим уравнение (25) на Vk(x)dx и проинтегрируем результат в пределах
от а до ft**). Получим
X* f Р(х) Vk(x)dx = f q(x)V\(x)dx f Vk(x)Vk(x)dx.
a a a
Ho
f Vk(x)V'^x)dx=Vk{x)V\x)\b -f Vk2(x)dx.
a a a
Поэтому
X* f p(x)Vk(x)dx = f q(x)Vk(x)dx + f V'\(x)dx -
Vk(x)Vi(x)\b .
a a a a
Так как p(x) и q(x) суть функции неотрицательные, то все X* выйдут
несомненно неотрицательными, если при всяком к будет соблюдено
неравенство
Vk(x)V'k{x)\b <0,
а
аналогичное неравенству (13) п. 8.
Приняв в расчет равенства (26) и (261), убеждаемся, совершенно так же как
и в пп. 9 и 10, что для фундаментальных функций первого класса все X*
будут неотрицательными, коль скоро постоянные а, (}, у и 6 удовлетворяют
неравенствам (14), а для фундаментальных функций второго класса -
неотрицательными, коль скоро постоянные р,оит подчинены условиям (15).
Таким образом, оказывается, что во всех случаях, когда выполняется
требование определенности задачи, само собой удовлетворяется и второе
требование, вытекающее из физического смысла задачи, о неотрицательности
всех характеристических чисел X*. Второе испытание опять не приводит к
противоречию между основами теории и непосредственно наблюдаемыми фактами
действительности (см. конец п. 11).
*1 Это соответствует предположению, что </ (л) =0.
**) Функции считаются достаточно гладкими. (Прим. ред.)
75
ГЛАВА V
Фундаментальные функции и характеристические числа.
Условие ортогональности.
Уравнение, определяющее характеристические числа.
Интеграл уравнения У "(х, X) + [Хр(х) - ?(х)] У(х, X) +/(х) = 0,
рассматриваемый как функция параметра X; метод Шварца - Пуанкаре и его
распространение на общий случай предельных условий (26) и (26,)
предыдущей главы. Случай, когда X = 0, не входит в состав
характеристических чисел. Основные теоремы о полюсах мероморфиой функции
V(x, X) и связь ее полюсов с характеристическими числами.
Алгоритм Шварца - Пуанкаре для вычисления характеристических чисел и
фундаментальных функций, соответствующих данной функции f(x ). Некоторые
неравенства и низшие пределы для модулей характеристических чисел.
Полная система характеристических чисел и фундаментальных функций
