Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
притом простые (не кратные). Обстоятельное изложение метода Лиувилля для
указанного частного случая читатель может найти, например, в томе III
курса К. Жордана.
В 1909 г. итальянский ученый М.Пиконе распространил этот метод и на более
общий случай (Sui valori eccczionali di un parametro da cui dipende un
equazione differenziale lineare ordinaria dei secondo ordine. - Pisa,
1909).
Но еще в 1896 г. мною показано, что для случая Лиувилля вопрос решается с
полной обстоятельностью при помощи иного метода, идея которого
принадлежит Шварцу и который был затем развит и дополнен Пуанкаре в его
известном мемуаре "Sur les equations differdntielles de la Physique
Mathe-matique", помещенном в Rendiconti di Palermo за 1894 г.
Тогда же я указал, что метод Шварца - Пуанкаре допускает дальнейшее
развитие и приводит не только к решению задачи (А), но также решает и
задачу (В) (см. п. 15 предыдущей главы). Эти первоначальные исследования,
опубликованные мною в статье "Задача об охлаждении неоднородного твердого
стержня" (Сообщения Харьк. матем. общ., 1896), были затем развиты и
усовершенствованы в мемуарах "Probleme de refroidissement d'une barre
he'terogene" (Annales de Toulouse, 1901) и "Sur l'existence des fonctions
fondamentales etc." (Memoria della R. Accademia dei Lincei, 1910), где я
pac-
*) По-прежнему заменяем С, через Ск.
**) Ибо при х = а, так же как и в предыдущем случае, Ук{х) обращается в
Ск.
81
пространил рассматриваемый метод и на случай, когд функция р(х) в
уравнении (25) только непрерывна*). Но в этих исследованиях я
ограничивался случаем предельных уравнений первого класса, и притом тем
частным случаем, когда постоянные а, 0 и у подчинены условиям (22).
Наконец, в мемуаре "Sur certaines questions d'Analyse qui se rattachent I
plusieurs problemes de la Physique Mathematique (Мёт. de l'Acad. des
Sciences de St. Petersbourg, Cl. Ph. M. Vol. XXXI, n. 7, 1913) я
распространил указан-, ный метод и на общий случай предельных условий как
первого, так и второго классов.
В настоящем сочинении мы изложим решение основных задач (А) и (В),
поставленных в предыдущей главе, при помощи того же метода, начала
которого положены Шварцем и Пуанкаре и который будем называть методом
Шварца - Пуанкаре, внеся некоторые существенные изменения и дополнения в
наши предыдущие исследования.
10. В предыдущих пунктах доказано, что фундаментальные функции,не равные
тождественно нулю, могут существовать лишь для отдельных значений
параметра X, служащих корнями целой трансцендентной функции со(Х). Как
для задач чистого анализа, так и в особенности для задач математической
физики существенно важным требованием является условие, чтобы
характеристические числа были числами вещественными (а для задач
математической физики еще и положительными).
Исследованию вопроса о свойствах чисел X*, т.е. корней функции ы(Х), и
будут посвящены следующие пункты этой главы.
11. Заменим уравнение V"(х)+ [Хр(х) - q(х)] V(x) = 0 следующим:
где f{x) есть какая-либо заданная непрерывная функция от х, и будем
искать интеграл уравнения (23) в виде ряда, расположенного по целым
положительным степеням параметра X, удовлетворяющий предельным условиям
•) Аналогичные результаты получены иными приемами в исследованиях
А.Кнезера (Mathem. Annalen, Bd. 58, 1904, Bd. 60, 1905 и Bd. 63, 1907),
Мээона (Trans. Americ. Mathem. Society, 1906), С. Саниелевичи (Annates de
l'Ecole Norm. Super., 1909), М. Пиконе (Annali d. R. Scuola Norm. Super,
di Pisa, 1909) и др.
Исследования А. Кнезера представляют развитие и усовершенствование идей
Лиувилля, Мэзои сводит вопрос к задачам вариационного исчисления,
С.Саниелевичи и М. Пиконе пользуются интегральными уравнениями Гильберта
- Фредгольма.
Этот же метод, за два года до появления работ С. Саниелевичи и М. Пиконе,
был развит А. Киезером в 1907 г. в третьем из вышеупомянутых его
мемуаров, который, по-видимому, ускользнул от внимания С. Саниелевичи и
М. Пиконе.
Из других исследований, относящихся к рассматриваемым вопросам, особого
внимания заслуживают изыскания Э. Пикара, опубликованные им одновременно
с упомянутым выше мемуаром А. Пуанкаре и изложенные затем в его (
"Trait^d'Analyse"T.lir, Paris, 1896), а также его мемуар "Sur un ргоЫёте
ge'n&al relatif aux equations integrates de premiere espdce et sur
quelques probl&mes de Physique Math6matique'' (Rendic.di Palermo, T.-
XXIX, 1910).
Дополнительные литературные указания no этому предмету можно найти в речи
М. Бохера ''Boundary Problems in one Dimension", произнесенной им на
одном из общих собраний V Интернационального конгресса математиков в
Кембридже в 1912 г. (см.
Ргос. of the V International Congress of Mathematicians, Vol. 1.-
Cambridge, 1913, p. 163).
V"(x) + [Xp(*) - qix)) V(x) +/(*) = 0,
(23)
L(V)= V'(b)-aV(a)-pV(b) = 0, M*0= V'(a)-yV(a) + aV(b) = 0,
(24)
82
или условиям вида
I.(V)= V(b)~ pV(a) = 0.
(24.)
J,l(V)=V'(b)--L V'(a)-rV(a) = 0.
Положим
