Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В силу сказанного выше со(Х) есть целая трансцендентная функция от X для
всех значений X.
Таким образом, уравнение (7) может допускать интеграл, удовлетворяющий
предельным условиям (5), лишь для таких значений параметра X, которые
служат корнями трансцендентного• уравнения
со(Х) = 0. (122)
Это уравнение имеет бесчисленное множество отдельных корней, модули
которых беспредельно возрастают, если только со(Х) не равно тождественно
78
нулю при всяком X. Уравнение (122) будем называть уравнением
характеристических чисел.
5. Положим в уравнении (7) X = 0. Получим уравнение
V"(x)-q(x)V(x) = 0. (13)
Обозначим через н,(;с) и и2(х) два его частных линейно независимых
решения, подчиненные условиям
и,(а)=1, и\(а) = 0, и2(а) = 0, и'2(а)= 1. (14)
Очевидно,
w,(x, 0> = М!(дс), w2(x, 0) = н2(х) (14,)
а>(0) = и\(Ь) - /Зм, (Ь) - 2а + уи2 (Ь) - (а2 + 0у) и2 (Ь).
Рассмотрим сначала случай, когда av 0 и у подчинены условию о>(0) =
и'|(Ь) -0н,(Ь) - 2а + уи2(Ь) -
- (а2 + 07) и2 (Ь) ^ 0, (15)
что равносильно предположению, что уравнение характеристических чисел не
имеет корня, равного нулю.
При соблюдении условия (15) ы(Х) не может равняться тождественно нулю при
всяком X; в этом случае уравнение (122) определит бесчисленное множество
различных между собой значений X*, служащих его корнями. Случай, когда
о>(0) обращается в нуль, рассмотрим впоследствии.
6. Сделаем временно еще другие предположения. Выражение
w'i(b, X) - 0w2(b, X) (16)
представляет некоторую целую трансцендентную функцию от X и обращается в
u2(b)-pu2(b) (17)
при X = 0.
Предположим, что
и2{Ь)-&и2(Ь)Ф 0. (18)
При этом разность (16) не может равняться тождественно нулю при всяком X.
Допустим, наконец, что целая трансцендентная функция от X (16) не имеет
корней, общих с корнями функции оо(Х).
Случай, когда разность (17) обращается в нуль и уравнение
w2(b, X) - 0w2(b, X) = 0
имеет корни, одинаковые с корнями уравнения характеристических чисел
(уравнение (122)), что, вообще говоря, возможно, мы рассмотрим
впоследствии особо.
7. При сделанных допущениях мы можем заменить совокупность уравнений (11)
уравнением (122) и первым из уравнений (11). При каждом значении X " Xjt,
служащем корнем уравнения (122), получится определенное выражение для
отношения С2 к С,, причем С, останется произвольным.
79
Обозначая эти произвольные значения С, для различных значений X* через
Ск, получим при всяком к:
с =с <* + Pwi(b,\k)-w'i(ь, \к) 2 к w'2(b,\k)-pw2(b,\k)
Подставив это выражение С2 в (10) и заменив в нем С, через Ск, найдем
определенную функцию Vk(x) в виде
, л ^ Wi(Jf,X*)[wi(*.X*)-0w2(*,X*)]
Vk(x) = Ск -;----------------------------- +
и4(*.Х*)-0иъ(ЬХ*)
+ w2(x, \к) [a +(3wt(b, \к) - w\(b, \к)]
wi(b.\k)-fiw2(b.\k)
Давая к всевозможные значения 1, 2, 3 и т.д., получим бесчисленное
множество функций Ук(х) (к = 1, 2, 3, . . .), соответствующих числам X*
(к = 1, 2i Т,...), каждая из которых будет удовлетворять уравнению
ук(*) + 1Х*/>(дг) - q(x )j Vk(х) = 0 (20)
и предельным условиям
V'k(b) = aVk(.a)+pVk(b),
Vk(a) = y Vk(a)~aVk(b), ( '
где, согласно сделанным допущениям, постоянные а, р и у подчинены
неравенствам (15) и (18).
Очевидно, что ни одна из функций Vk(x), определяемых равенством (19), не
равна тождественно нулю, ибо при х = а она обращается на основании (8) в
Ск.
8. Рассмотрим теперь случай предельных условий второго класса.
Подставив выражение (10) в уравнения (6), получим
Ci(wi(b, X) - р) + C2w2(b, Х) = 0,
, (111)
Х)-т) + С2 ("vi(ft, X)- - ) = 0.
Р
Отсюда, подобно тому, как в п. 4, заключаем, что характеристическими
числами могут быть лишь корни целой трансцендентной относительно X
функции
ад(Х) = 2 - j wt(b, X) -pw2(b. \) + Tw2(b, X). (12,)
представляющей определитель системы (11,).
Сделаем здесь следующие допущения:
(а) Постоянные риг удовлетворяют условиям
со(0) = 2- - и,(Ь) - ри2(Ь) + ти2(Ь)Ф 0, и2(Ь)Ф 0, (15,)
(в) Функции ш(Х) и w2 (b, X) не имеют общих корней.
Случаи, когда эти условия могут не соблюдаться, также рассмотрим
впоследствии. При этом со(Х) не может обращаться в нуль тождественно при
80
всяком X; уравнение oj(X) = О определит бесчисленное множество различных
значений
X = X* (*=1,2,3,...),
для каждого из которых первое из уравнений (111) даст определенную
величину отношения С2 к С,:
¦ и',(*>, Х)-р ")
2 * w^b.X)
причем, приняв в расчет (10), получим для всякого X:
" , ч w^x- ^k)-w2(x, Xk) [w,(b, Xk)-p]
Vk(x) = Ck ---------------------------------------------- . (19,)
w2(b, Xk)
Получим при сделанных допущениях бесчисленное множество чисел \к и им
соответствующих функций Ук(х), не равных тождественно нулю**) и
удовлетворяющих уравнению (20) и предельным условиям
Ук(Ь) = рУк(а),
У1(Ь)= j УЦа) + гУк(а). (21,)
9. Еще Лиувилль показал (Journal de Liouville, Т.I), что для частного
случая, когда (задача об охлаждении неоднородного твердого стержня)
а = 0, /3 < 0, у>0, (22)
все корни целой трансцендентной функции ш(Х) вещественны, положительны и
