Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
к * 00
(46), убеждаемся, что
.. v^T-T
Р= lim - .
Таким образом, приходим к следующему результату:
Ряд (27) сходится абсолютно и равномерно для всех значений х в промежутке
от а до Ь, и радиус р круга его равномерной сходимости по параметру \
равен
р= lim . (5П
69
Иначе говоря, ряд (27) представляет собой голоморфную функцию параметра X
внутри круга радиуса р и при этих значениях X непрерывную функцию от х в
промежутке [а, Ь\.
17. Остается показать, что функция V(x), определяемая рядом (27),
действительно (а не только формально) удовлетворяет и уравнению (23), и
условиям (24) или (24j) (п. 11). Покажем, что ряд составленный из
произвольных по х от членов ряда (27), также сходится равномерно внутри
круга радиуса р.
Из равенства (37) выводим, дифференцируя по х,
v'k (*) = и\ (*) Nk(x) - и2 (x) Мк(х) + (дг) Nk(b) - и2 (х) Мк{Ь). (52)
Положив
в, (х, ?) = и\(х) и2ф - и2 (х) и, ф,
02 (X, ?) = Oj'i (х) и2 ф - OJ2 (х) П,ф,
составим функцию 0(х, ?), подчинив ее условиям
в(х, ?) = 0i(x, ?) + 0г(*, ?) при д<?<х,
в(х, ?) = в2 (х, ?) при х < ? < Ь.
Функция 0(х, ?), таким образом определенная, есть ограниченная
функция и она интегрируема по ? в промежутке [а,Ь] при всяком
х, лежащем
в том же промежутке. Следовательно,
/ p(?)02(*,?)rf?<0?, (53)
а
где б? есть положительное число, не зависящее от х.
Выражение (52) для и*(х) можно представить при помощи функции 0 (х, ?) в
виде
vk(x)= f p(t)vk-,(t)0(x. t)dt.
a
Отсюда, воспользовавшись неравенством Буняковского и (53), выводим
lu*(*)l<0i (54)
Сравнивая теперь ряд
и{,(х) + Xui(х) + X2v2(х) + . .. + X* и*(х) + .. . (55)
с рядом 01 (sfW0 + IX|V Wi + | X21 \J W2 + ... + I \k\\fWk + ...),
заключаем на основании (54) и рассуждений предыдущих пунктов, что ряд
(55) сходится равномерно (и притом абсолютно) при всяком х в промежутке
[а, Ь] и при всех значениях X внутри круга радиуса р(51).
Отсюда на основании известной теоремы*) заключаем, что ряд (55)
представляет производную по хот функции V(x) для всех точек промежутка
[а, Ь \, так что можем писать
V'(х) = Uq(x) + Xui (*) + X2ui(x) + ... + X* и*(х) + ... (56)
*) См., например, С. J о г d a n, ''Cours d'Analyse", Т. I (Paris, 1893,
p. 313); см. также С.М. Никольский, "Курс математического анализа", т. 1
(М.: Наука, 1973).
90
18. Составим теперь ряд из производных второго порядка по дг от членов
ряда (27), т.е. ряд
а(х) = Vo(x) + Xu','(x) + X2и2'(х) + .. . + Х*и* (дг) + ... (57)
Рассмотрим ряды
51 = /(дг) + Хр(дг) {и0(дг) + X2и, (дг) + X2 и2(дг) + .,. + Х*и*(дг) +
...}
и
52 = q(x){v0(x) + Хи,(дг) + Х2и2(дг) + ... +Х*и*(дг) + ...}.
Каждый из них, как доказано выше, сходится абсолютно и равномерно при
всяком дг в промежутке [а, Ь\ и для значений X внутри круга радиуса р.
Следовательно, ряд
S2 - Si = [q(x) - Хр(дг)] V(x) -/(дг) =
= Ч(х)u0(Jf) -fix) + X[<7(дг) и, (дг) - Хр(дг) и0(дг)] + ...
... + X* [р(дг) и* (дг) - Хр(дг) и* _,(дг)] + ... (58)
сходится равномерно при тех же условиях, что и каждый из рядов S, и S2 .
Но на основании уравнений (28) и (29) имеем при всяком к-
Ч(х) и*(дг) - Хр(дг) и* _, (дг) = и* (дг).
Следовательно
S2 - 5, = v'o(x) + Хи','(дг) + X2и2 (дг) + . .. + Хки'^(х) + ... = а(дг),
т.е. ряд о(дг) (57) сходится равномерно при тех же условиях, что и ряды
(27) и (56), а потому представляет собой первую производную от V\x ) или,
что то же, вторую производную от V(x).
На основании сказанного из равенства (58) заключаем, что функция V(x),
определяемая рядом (27), действительно удовлетворяет уравнению
(23). Очевидно, наконец, что эта функция удовлетворяет действительно и
предельным условиям (24) и (24,), так как каждый ее член этим условиям
удовлетворяет.
Таким образом, приходим к следующей теореме:
Уравнение (23) допускает интеграл, удовлетворяющий предельным условиям
(24) или (24,), в виде ряда (27), равномерно сходящегося при всяком х в
промежутке [а,Ь\ и при всех значениях X внутри круга радиуса
'/WTi
Р =lim 1 гйГ7 ¦ (51)
Круг этот есть предельный круг голоморфности функции V(x), так что ряд
(27) не может быть равномерно сходящимся для значений X, лежащих вне
этого круга.
19. Рассмотрим теперь ту же задачу об интегрировании уравнения (23) при
предельных условиях (24) или (24,), основываясь на общей теории линейных
дифференциальных уравнений.
Придерживаясь обозначений п. 3 настоящей главы, напишем общий интеграл
уравнения однородного, соответствующего данному неоднородному
уравнению (23) (см. (7) гл. 3), в виде К(х) = Ci w, (х, X) + C2w2 (х, X).
Применив затем метод Лагранжа изменения произвольных постоянных С, и С2
получим общий интеграл уравнения (23) в виде
V(x) = Ci w, (.х, X) + Сг w2 (х, X) + r(x, X), (59)
где (ср. п. 11 этой главы)
r(x, X) = w, (х, X) J f(x) w2 (х, X) dx - w2 (х, X) J f{x) w, (x, X) dx.
a a
Выберем затем произвольные постоянные Ci и С2 в выражении V(x) (59) так,
чтобы были удовлетворены предельные условия
L{V) = 0, Z-i(K) = 0,
где, напомним, символы L(V) и /.,(V) представляют сокращенное обозначение
