Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
1. Допустим, что характеристические числа \к и им соответствующие
фундаментальные функции Ук(х) указанных в предыдущей главе двух классов
существуют. Пусть Хт и Х" - два каких-либо различных характеристических
числа, Vm(x) и Уп(х) - им соответствующие фундаментальные функции. На
основании (25) предыдущей главы имеем
У'т (*) + [Хтр(х) - ?(*)] Ут (х) = 0,
У'п(х) + [Х"р(х) -?(*)] Уп(х) = 0.
Умножив первое из этих уравнений на У"(х), второе - на Ут(х),вычитая один
результат из другого и проинтегрировав полученную разность в пределах от
а до Ь, находим
(Хт - X") f р(X) Ут (дг) Уп(дг) dx = ( Ут(х) У'(х) - У"(х) У'т (х) ) | *
а а
Если при всяких тип имеет место равенство
Кт.п = (Vm(x) У'п (дг) - Уп(х) О*)) | * = 0, (1)
а
ТО
/ p(x)Vm(x)Vn(x)dx = 0 (2)
а
при всяких не равных между собой тип, ибо при этом Хт - Х" Ф 0.
Таким образом, если фундаментальные функции удовлетворяют условию (1), го
они образуют систему ортогональных функций, характеристической функцией
которой служит функция р(х). Условие (1) будем называть условием
ортогональности.
76
2. Предположим, что фундаментальные функции принадлежат первому классу,
т.е. удовлетворяют предельным условиям (26) предыдущей главы. Уравнения
(26) дают
Кт= (а + 5) [ Ут (а)У"(6) - Vn(а)Ут (6)].
Равенство (1) будет выполнено для каких угодно фундаментальных функций
первого класса, если
а+ 5=0. (3)
Рассмотрим фундаментальные функции второго класса, удовлетворяющие
предельным условиям (26,) предыдущей главы. В этом случае уравнения (26,)
дают
Кт.п = (ро - 1) [Ут(а) К" - Уп(а) - V'",(?)].
Равенство (1) будет выполнено для каких угодно фундаментальных функций
второго класса, если
ро - 1=0. (4)
В дальнейшем мы будем рассматривать исключительно случай ортогональных
фундаментальных функций, т.е. будем предполагать, что функции первого
класса определяются уравнением (25) предыдущей главы и предельными
условиями вида
Ki(ft) = aK*(<7)+0K*(b), V'k(a) = yVk(a)-aVk(b), (5)
а фундаментальные функции второго класса - тем же уравнением (25) и
предельными условиями вида
Ук(Ь) = рУк(а), У'к(Ь)= j У'к(а) + тУк(а). (6)
Заметим, что во всех задачах математической физики условия
ортогональности (3) и (4) соблюдаются. В задаче об охлаждении прямого
стерж-няа=5 = 0,а + 5 =0, в задачах Сплошного кольца и стержня, согнутого
в замкнутую кривую, для первого случая р = о = 1, ро - 1 = 0, для второго
а = Л, Ь- h, " + 5= 0 (см. п. 11 предыдущей главы).
Важное значение условия ортогональности фундаментальных функций для всей
теории, которая будет изложена, выяснится впоследствии.
3. Так как вопрос о существовании фундаментальных функций имеет интерес
не только с точки зрения математической физики, но и для чистого анализа,
то мы будем сначала предполагать, что в уравнениях (5) и (6) постоянные
а,0,уир,т имеют какие угодно вещественные значения, не связанные
неравенствами (14) и (15,) предыдущей главы. Те особенности, которые
вносятся в общую теорию этими последними ограничениями и принадлежат
специально указанным выше задачам математической физики, отметим
впоследствии особо.
Пользуясь основами общей теории линейных дифференциальных уравнений,
будем искать интеграл уравнения
И "(*)+[*>(*)-9(*)J И(х) = 0, (7)
удовлетворяющий предельным условиям (5) первого класса, подразумевая
77
в (7) под X пока неопределенный параметр. Обозначим через w,(jc, X) и
w2(x, X)
два независимых частных решения уравнения (7), подчинив их для простоты
условиям
w,(а, X) = 1, w',(a, X) = О,
w2 (а, X) = 0, w'2(a, X) = 1,
что всегда возможно.
По известной теореме Лиувилля имеем при всяких х и X:
w, (х, X) w2(jc, X) - w2 (х, X) w'i (х, X) = const,
каковы бы ни были независимые частные решения w, (х, X) и w2(x, X)
уравнения (7). Если эти решения удовлетворяют условиям (8), то,очевидно,
D = w,(jc, X) w'2(x, X) - w2(x, X) wi (jc; X) = 1. (9)
Функции Wi (х, X) и w2 (jc, X), как известно, суть целые трансцендентные
функции параметра X во всей плоскости комплексного переменного X. Общий
интеграл уравнения (7) представляется в виде
V(x) = С, w, (х, X) + С2w2(х, X), (10)
где Ci и С2 - произвольные постоянные. Выбрав в общем интеграле
постоянные Ci и С2 так, чтобы были выполнены условия (5), получим искомый
интеграл уравнения (7), если таковой существует.
4. Подставляя выражение (10) в уравнения (5) и приняв в расчет (8),
получаем два следующих уравнения для определения постоянных С, и С2:
С, [w', (ft, X) - 0w, (ft, X) - а] + С2 [wi (ft, X) - 0w2 (ft, X)] = 0
С, [aw, (ft, X) - 7] + С2[ 1 + aw2(b, X)] =0. (1
Эти линейные однородные относительно неизвестных С, и С2 уравнения могут
быть удовлетворены значениями С, и С2, не равными нулю тогда и только
тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е. когда
со(Х) = [w', (ft, X) - (3w, (ft, X) - a] [ 1 + aw2(ft, X)] -
-[wi(ft, X)-0w2(ft, X)] [aw, (ft, X) - 7] = 0, (12)
или, на основании (9),
co(X) = w', (ft, X) - 0w, (ft, X) - 2a +
+ ywi(ft, X) - (a2 +0?)w2(ft, X) = 0. (12,)
