Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
системы (4.1) было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы внутри и на
границе конуса % !> 0 (k = 1, 2, 3) не было ни одного нейтрального или
неустойчивого луча.
Необходимость доказана выше. Доказательство достаточности намечено в
[2986].
Замечание. В ряде задач.(см. пп. 1.1, 2.6) все величины gr (к, г = 1,
2,3) оказываются чисто мнимыми. В этом случае в силу уравнений (4.1)
I Ук Г = Ск = 1. 2, 3)
являются первыми интегралами системы (2.1) и могут быть использованы для
построения функции Ляпунова по методу Четаева ([145а], гл. II, п. 10)
связки интегралов. Однако построенная здесь таким образом функция
Ляпунова будет определена с точностью до третьих степеней переменных
включительно и может привести лишь к суждению о формальной устойчивости
[234д] тривиального решения системы (1.1).
Глава IX
КОЛЕБАНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ ОКОЛО НИЖНЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
§ 1. Случай, когда центр тяжести расположен в одной из главных плоскостей
эллипсоида инерции для закрепленной точки
В пп. 1.1, 1.2 и 1.5 проводятся преобразования дифференциальных уравнений
колебаний тяжелого твердого тела с закрепленной точкой около нижнего
положения равновесия в случае, указанном в заголовке параграфа. К
преобразованным уравнениям предпочтительнее применять известные методы,
что показано на примере применения метода последовательных приближений.
1.1. Приведение к диагональному виду. Рассмотрим несимметричное тяжелое
твердое тело в единственном предположении, что центр тяжести G лежит на
одной из главных плоскостей инерции для закрепленной точки О; не нарушая
общности, направим главные оси Oxyz эллипсоида инерции так, что xq 0, уа
= 0, zq О (OG2 = х% + у% 0). Уравнения Эйлера запишутся в виде
где I = OG и неподвижная ось Oz* направлена вертикально вниз, а у, у', у"
- ее направляющие косинусы. Желая изучать колебания около нижнего
положения равновесия (у = ?, у' = 0, у" - ?), положим во все время
движения
dp
dt
dr а - 1
dt с
202
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
(заметим, что v - частота маятниковых колебаний около оси Оу, если она
занимает горизонтальное положение) и запишем уравнения Эйлёра - Пуассона
в виде
+ -§---"? + ЛГ-9Г,
= ?Г - ЕГ" + (С - a) RP, = ZP - IR + Д Г-ДГ, (1.1)
# = -Г:+ ^ = Е<? + <?Г-ДГ.
Собственные значения матрицы линейной части системы (1.1) суть: 0, 0, -г,
+г, -Ki, +Х?,
K=+Y + (?2 + S2 = D, (l.la)
где нулевому собственному значению отвечают простые элементарные
делители. Выпишем матрицу S, составленную из соответственно расположенных
собственных векторов матрицы линейной части системы (1.1) и обратную
матрицу S-1:
0 5 0 0 1 "|<г* 1-L ? аХ
0 0 1 1 0 0
0 С 0 о *4- _ ск . ? 1 сХ У
1 о - il 0 0
0 0 0 0 1 1)
С 0 ъ - Ц 0 0
0 0 0 1 0 0
1 сХ2 0 i? 0 0 0
0 1 2 0 * т* 0 . ?, ~1 2
0 1 2 0 -,-f 0 <4-
. С 1 2Х 0 • * о 1 2Х 0 1 2 0
. С ~ 1 2 К 0 1 2Х 0 1 2 0
Обозначим через и вектор с компонентами Р, Q, R, Г, Г', Г", а через х -
вектор с компонентами хг, . . ., хв. Запишем систему
(1.1) в виде
§ 1] ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ 203
где g (и) - вектор-функция, составленная из нелинейных членов системы
(1.1). Замена u = Sx приведет систему (1.1) к диагональному виду
-§.=S-iASx + S-ig(Sx), (1.3)
где S-1AS - диагональная матрица, составленная из собственных значений
матрицы А в указанной выше последовательности. Поскольку переменные х3 и
хъ комплексно-сопряжены переменным хх и хв : х3 = хь = 2в, то уравнения
для первых выписывать не будем. Итак, система (1.3) запишется в виде
=i(x\ - х\) + ik (x\ - x\),
~dx~ = ас№ Хг Г(r) 4~ ^4) + (^2 - 1) (хз 4- ^4) (^5 -
4- 4-(C - a)tt*S 4+
(1 + Я.) (c - a) . 1
1 2acK2 8 *-2~ 1' 8 4' -
-4i[1-i?L(4y-4c,)]w*--44+44 (4 6° - 4 41*¦*" - '4J ^ *¦*"¦ i1-1"
= ib;e + itai (ze - x5) +
+ 4'^[1~^ + Т'("7'^ + "У^)]а:2а:з +
+ ~r * [~1 ~x+4~ (t~+ T" ^2)] ^ +
4" 2acX,2 3 ^ 8 6' 4" 2acX,2 4 ^ 5
6''
Выпишем в диагональных переменных три известных первых интеграла:
тривиальный, кинетического момента относительно вертикали Oz* и энергии:
2хх 4- х\ - (х3 - хх)2 4- (хъ 4- xaf = 0, (1.5)
аск2х2 + аск2ххх2 + i (с - а) (а:3 - z4) +
4- (я8жв 4- ЗД") 4- ^4^" 4- я4а;Б) = А ,
(1.6)
- 2хх + аск2х\ + (х3 + хх)2 - (х5 - хе)2 = ра ^р2 = 4- 2^ .
(1.7)
204 КОЛЁЁАНЙЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЁННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
1.2. Приведение к ляпуновскому ([77а], § 33-45) виду. Нетрудно выписать
матрицу Т линейного преобразования, приводящую диагональную систему (1.4)
к ляпуновской кососимметричной форме
т = i2 -j- т2 -j- т2, i2
Матрица L результирующего преобразования исходной системы
(1.1) в систему ляпуновского вида равна
L = ST,
где S см. (1.2). Выпишем ее и обратную ей матрицу:
1 0 T 1 1 - i
0 1 ' l2 -"2: 1 i
0 \ 0 0 0 aX
0 0 1 0 0 0
0 С 0 0 0 JL cX
I 0 0 -с 0 0
0 0 0 0 1 0
С 0 0 % 0 0
JL
с№
- -т- О
а№
о с
о о о о
-С о \
О 1 о
ООО
(2.1)
Замена переменных и скому виду
-fa = Z3Z4 -[- Xz5z6,
Lz приведет систему (1.1) к ляпунов-
c?z2
dx
dZv
(°~c)5E
асХ2
