Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
d2a
о 1 dr da о 1 A" , a i 2 a . n.
2 -Г--37-37 - 2coo--- + p2a + co0e-signc = 0.
dfi 1 r dt dt ^ r dt 1 ^ 1 0 r
В первом уравнении имеется свободный член а^е, от которого целесообразно
освободиться, чтобы иметь в качестве нулевого решения круговую
траекторию. Заметим, что при а = 0 из (1.3) мы получаем невозмущенное
движение с
г 0 =
Введем новые переменные
dz_t dz_о .j r\
z-i = r - r0, z1=-^-, z_ 2 = a, z2=-^-, (1.0)
тогда уравнения возмущенного движения запишутся в виде -j- 2co0r0z2 =
r0z2 -j- z_iz| - 2cc>0z_1z2 -
- (p2r0 + ~y "o6 sign z!2 - p2z_iz!.2, (1.6)
^ + 2 ZlZ2 _ 2(r)° 7Й"ТГ Zl +
+ p2z_2 -f cooe r , ¦¦ ¦ z_2 sign с = 0.
r0 T Z-1
§ 3] О ТРАЕКТОРИИ, ОПИСЫВАЕМОЙ ЦЕНТРОМ ВАЛА 183
Полагая, что амплитуда возмущенного движения меньше невозмущенного, т. е.
| Z-i | ¦< г0, представим дробь
1
га + 2-1
в виде сходящегося биномиального ряда, ограничившись первыми тремя
членами разложения
Подставляя это разложение в (1.6) и учитывая (1.5), получим автономную
систему четвертого порядка,
dz_y
dt dz
= cz-i 2(o0r0z2 -|- /1 (z_i, Zi, z_2, z2), (1.7)
dz_ 2
= z 2,
di
= 2 -^2- Zi - (2p2 - (Oo) z_2 + /2 (z_i, Zi, z_2, z2),
где
/1 = - 2(o0z_lz2 - (Vr0 + -j- Woe sign cj z!2 -f r0z2 - P2z-xz!2 + z-
xZ22, /a = - 2-z_xZx -f- -y-z_xz._2 - ZxZ2 + (1-8)
r2 -A A 1 2
0 0
I o tt>0 2 "oe 2 1 2
+ 2-j-z_jZx 5- Z-xZ_2 -I z_xZxZ2.
ro ro ro
Переходя к векторной форме записи, будем иметь
^- = Az + f(z), (1.7а)
где Z =I(z_x, zl5 z_2, z2)T, A - квадратная матрица, составленная из
коэффициентов линейной части системы (1.7), f (z) = (О, /ь
О, иу.
3.2. Приведение к диагональному виду. Собственные значения матрицы А в
(1.7) суть (c)xi, где
Ml,2 - +
-^Кзр2 + 2Ш2" + р/р2 + 24со2" (2.1)
и будут чисто мнимыми и различными (0 <; Шх < ш2) ПРИ выполнении любого
из условий
<°о < У^Р < "о- (2.2)
184
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VIII
Это согласуется с рекомендацией по выбору области рабочих угловых
скоростей в зарезонансной зоне
(r)раб 1.4(0Кр.
выработанной многолетней практикой эксплуатации роторных систем. В
дальнейшем считаем выполненным одно из условий (2.2).
Введем безразмерное время
т = о 2t
и запишем векторное уравнение (1.7) в виде
= - Az + - f(z). (2.3)
dx to2 1 to2 K
Матрица - А имеет собственные значения
JLj = - i, К = i, X.2 = -Xi, X2 = Xi (х = ^<^. (2.4)
Линейная замена переменных
г = Sx, (2.5)
где S - матрица, составленная из собственных векторов матри-цы-А,
приведет систему (2.3) к диагональному виду
= diag (- i, i, - Xi, Xi) x -f S_1f (Sx). (2.6)
Вычислим S и S_1:
1 1 1 1
- i(o2 ico2 - ifflj
id2 - id2 id1 - id
(Iho* d2(o2 d1a>1
- D iDx iD 2 A
- D - iD1 - 1ТУ4 A
Jl-D dtX U ¦ di n 1 dl Dl -\d% - A
Л.Г) dtX U d<i -A
где введены обозначения:
л _ j c p dtX
1 ггоШой)! ' 2 2r0a>0a>2 ' 2 (d2- dtX) '
n n X_ p. _ 1_
^ 2a2(d1-d2X) ' "2 2(dt - d2X) ' 2g)2(rf2-rfvM'
§ 3] О ТРАЕКТОРИИ, ОПИСЫВАЕМОЙ ЦЕНТРОМ ВАЛА 185
Запишем преобразования (2.5) и обратное в развернутом виде z_! = я_х +
хг + х_2 + х2,
z1 = -m2x^ + 1(0^ - 1(0^2 + i cd^,
z 2 - id^x j ((^2х| ] idiX-2
^2 - d2(a2x j ] ^2 ^2*^1 ] j to | x 2 | d^(HjX2^ (2.3)
я-i = - Dz_! + i/)1z1 + Ш2г_2 + ^sZ2,
.ях = -Z>z_1 - i-D^ - iD2Z-2 + D3z2,
x-2 = ^ A)Z-1 - i DiZx Z)?z-2 - A)Z2,
X% ~ uJt^3Z_1 * !T~^lZl-AT ^2Z~2 - DzZ2. Последнее преобразование может
быть записано более компактно:
**=(- ^ (^r)|vH Dz~i + si"n v (- 1У1 (f-)'vl_1 D'z' +
+ signv(-l)vi(4-)|VHJD2z_2-(-l)vn3Z2 (v = + l,+2). (2.10)
Очевидно, что "диагональные" переменные комплексно-сопряжены: я_х = ?1,
я_2 = ?2, поэтому преобразование (2.8) представимо в виде
z_x = 2Re (ях + х2), zx - - 21m (ад + ш^), (2.11)
z_2 = 21m (d2xx + ^х2), z2 - 2Re (d2 + d^ cd^2).
Вычислим теперь компоненты вектора
h(x) = S_1f (Sx)
нелинейной части системы (2.6):
Л-i (z) = [iZ>i/t(Sx) + Д,/2 (Sx)], hi = [- iDifi + D3f2],
а>2 Ш2
(2.12)
ft-=i [-f -зг ад - ад] ¦ Л*=i [f ?ад - -ад] •
Здесь в силу (1.8) и (2.8)
fi (Sx) = (c)j {а (x-i + xi)2 + Ъ (я_2 + х2)2 +
+ g (я_х + Xi) (я_2 + Я2) + [Л (я_! - Xi) + / (Я-2 - Я2)12} ,
(2.13)
/2 (Sx) = ia2[l (я21 - я?) + п (я!2 - я2) +
"Ь 9 (х 1 ^i) (х 2 "f~ xz) I s (Я-i Я1) (я_2 я2)],
186
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И й-ГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VIII
где обозначено:
О d3 (^2(r)2^*0 2и0). 5 (dj (r)1Г0 2(Dq)t
8 ^2 №"V0 2<о0) -f- Xd-^ {d3 (c)2^*о 2и0),
h = + (p2 + 4~c)r°' / = + гйгУ/-(^ + 4_с)Го'
? = (dzTo -f- 2 d3rx>^r3 ~b 2co0^ . (2-14:,)
и = -nr (d^ - + 2^ dxcotf0 -j- 2?v(o0^ ,
9 = ^2^0 + 2 т^оцго -f- 2co0^ ,
s = -- (^d\rо -f- 2 d2coir0 -f- 2^(o0^ .
Запишем теперь систему диагонального вида (2.6) в принятой в книге
симметризованной форме:
¦^22 = l,x, + ^ alhXjXfi + [3] (v = =F 1. + 2) (2.15)
j, Л=+1, +2
(dfij ~ djht v, /, h = -j- 1, -j- 2).
Коэффициенты при квадратичных членах в силу формул (2.12) и (2.13)
запишутся в виде
all_! = - "и = ? (" + h2) Dx -f- ilD3, а-i-i = - ай1 = - i (a + h2) Dl +
ilD3, a_i_i = - йц = i-^-{a -f- h2) Di - ilD3,
a2-!-! = - all = i (a + *2) ?>i - UD3, d-2_2 - - #22 = ^ "f" 7^) -(r)1 "f"
