Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
т = YMglaxt, x = j/'-^rkx,
"'х='|/ kXl, x2 = j/ Mgl кХя, (3.6)
*=-2-. ег=^' запишем систему (3.3) и интегралы (3.4) в виде dye
- = (е2и + d2x2) хх - (ехх + хх) х2,
= - v2 " р (d х - р с 1 х 1 - р f'2x2) х2 - (^'2х" р ci2x2) х,
-fjr = vx - (d'x + ехХ! + е2х2) хх + (ехх + хх) х,
dx
dvx _
^N- = (е2х + d2x2) vx - (exx + xx) v2,
dx
e2x - d2x2 + (d'x + f^xXx + e2x2) v2 - (e2x + d2x2) N,
- = exx + Xx - (d'x + exXx + e2x2)vx + (exx + xx) N; (3.7) 2N + N2 + v? +
v! = 0,
X (1 + N) + XxVx + x2v2 = "j/ -щ^ког* = A,
Mgl
d'x2 + + ^2^2 + 2 (exXx + e2x2) x - 2N = 2ti +
2 ^h' =
* (3.8)
Система уравнений (3.7), описывающая общий случай колебаний тяжелого
твердого тела около нижнего положения равновесия, содержит четыре
безразмерных параметра d!, d2, ег, е2, определяемых формулами (3.6),
(2.3), (2.2) и (2.1) (см. также п. 1.1). Собственные значения матрицы
линейной части системы (3.7) суть
0,0,-i,+i,-Y~d2i,+У d2i, (3.9)
где нулевому собственному значению отвечают простые элементарные
делители. Выпишем матрицу S, составленную из соответственно расположенных
собственных векторов матрицы линейной
218
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
части системы (3.7), приводящую последнюю к жордановой (в нашем случае
диагональной) форме, и обратную ей матрицу S-1:
S =
- ei
et d 2 О
О
О
S-! =
о
0
1 2 1 2
- - О 2 с?2
4-2- о
о
0
1
о
- i VdT
О
О
О
О О
О
0
1
О
Уь
о
о
0
1
т1
1
-Т1
(3.1 \
о ----Т=-
0
2 Ydt
i
2 Yd..
= о
Переход к жордановым переменным, осуществляемый с помощью матрицы S,
приведет систему (3.7) к диагональному виду (имеется в виду, что
последний термин относится лишь к линейной части преобразованной
системы). Приведение к диагональному виду предшествует преобразованию к
нормальной форме. Здесь сам диагональный вид нам не понадобится, а
матрицы S и S'1 окажутся полезными для приведения системы к ляпуновскому
виду, к чему мы и переходим.
2.4. Приведение к ляпуновскому виду. Нетрудно выписать матрицу Т
линейного преобразования, приводящую систему диагонального вида к
ляпуновской кососимметричной форме
Т - lj -j- Т2 -j- Tj, Ij -
1 - ? I
1 i
I1 °ll т _ 1
JO 11| * 2 2
Матрица L результирующего преобразования исходной системы (3.7) в систему
ляпуновского вида
L =ST,
где S определяется из (3.10). Выпишем ее и обратную ей матрицу:
L =
0 0 0 0 0 0
0 - е1 1 0 0 0
0 _ ег d% 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -УТг
0 0 0 1 0 0
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
219
0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0
el 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
"2 d2 0 1 0 0 0
0 0 0 0 - 1 0
VdT
(4.1)
Обозначим через и вектор с компонентами к, яг, я3, N, vlt v2, а через v -
вектор с компонентами vlt . . ., ve. Запишем систему
(3.7) в виде
-g-=* Au + g(u),
где А - матрица ее линейной части, a g (и) - вектор-функция, составленная
из нелинейных членов системы (3.7). Замена
u = Lv
приведет систему (3.7) к ляпуновскому виду -J- = L^ALv + L^g (Lv).
Выпишем преобразование (4.2) и систему (4.3):
я = у2, яг= - е^2 + v3, я2 = - ~^-v2 + v6, N = Vi, vi=- Vd2v9, v2 = y4,
vx - N, v2 = и, я + Ях, = v2,
^ = 4* + *" ye = ~ylrVi;
(4.2)
(4.3)
(4.2a)
= - v3v4 - d2Yd2 v5v6,
dx
e±
= ^tv2v3 - ex d2v2vb + (d2 - l)v3v5,
dvо
dun
dx
~Vi+i{~d' +
'2 \
2 \ 2 . 2 I
J V2 4" e2^5 +
d%
+ ^d' -¦ d2 - e4 - d2e4 - 2-^-J v2v6 exd2v3v$,
(4.3a)
= 1>з + 4- J^d2 (d, - e\------d^} v<iV<i "t"
+ Yd2 exv3ve JrVd2 e2v6ve,
220
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
- - Y di ve + ег i^d,' - е\ vl - eYl -f
е2 е2 \
+ [ 1 - d! + 2е(r) + I v2v3 + v2v6-^ vsVbi
= Vd2 v6 + Yd2Vi_v6 +
2
dv a dt
+ /¦- I - d' + e\ + -j- I v2v± - -,rY VsVi - ТТ4= y4y5*
У rf2 \ / у rf2 yi:
Первые два интеграла (тривиальный и кинетического момента относительно
вертикали) (3.8) в новых переменных запишутся в виде
2v1 ~\- v\ ~\- v4 + d^vl = 0, (4-4)
v2 + vxv2 - -j- v2Vi + в! Yd2 v2ve - Yd* v3v<s + VnV5 = k. (4.5)
Линейная комбинация интеграла энергии и тривиального интеграла приведет к
знакоопределенному интегралу
v\ + (d' - ei j~j у2 + уз + у4 + d2 (v\ vl) = 2h' + 2. (4.6)
2.5. Резонансы. Из (3.9) очевидным образом получается отношение частот
линейной части системы (3.7) или системы (4.3а). Приравнивая это
отношение т/п, где т ш п - взаимно простые натуральные числа, получим
d2 = -f* = J*-. (5.1)
* а± ге2 4
Из формулы (2.2) имеем
sin2 Ъх = + {JxxJtV - Jxy) - (JxxJzZ - Jzx)],
COS2 eX = ^4? ~ (/XX J YY ~ Jxy) + (J XxJ ZZ - Jzx)],
. D ^JxXJYY
sm 2ex s------------,
где
Л = + V [/xx (Jzz - Jyy) + Jxy - Jzx]2 + 4/xyJzx-Отсюда в силу
формул (2.3) и (2.1), будет иметь
^___а2 JXX (JYY + JZZ) ~~ (JXY + JZx) ~
fll JXX (Jyy + Jzz) ~ {J\y + Jzx) + & Резонансное уравнение (5.1) после
очевидных преобразований
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
221
примет вид
(п4 + т*) JXX (JxxJyyJzz - J'yyJzX - JzzJ\у) =
= n2m2 [(/ xxJyy - J x y)2 + (J xx J zz - Jzx)2 + ZJxyJzx) • (5.2)
Допустим, что опорные оси являются главными осями эллипсоида инерции для
точки О, т. е. Jxy = Jzx - 0. Тогда эти оси являются и специальными
осями, ибо по формуле (2.2) ех = 0. Уравнение (5.2) запишется тогда в
