Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
kz = Jzx^x + Jzz(йz^
запишем (1.1) в виде
T - {{kxiох "Ь kytoY "Ь kzdiz)- (1*3)
Разрешим уравнения (1.2) относительно cox, coy, coz: сох = Qxxkx + ?2ху&у
+ Qxzkz,
coy = Q.Yxkx "Ь ?2уу&у -J- ?2Yzkzi (1*^)
coz = Qzxkx + Qzy^y + Qzzkz,
•214
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
где ?2хх Qxy :
JYYJZZ det J
йух = -
Qyy =
JXYJZZ det J '
T T ________ 7-2
J ZZJ XX J ZX
det J &xz= &zx
QZz =
J XX JYY fXY
det J
JXZJYY det J '
Qyz = Qz'y '¦
JXYJZX
det J
и, наконец, det J есть определитель положительно-определенной
квадратичной формы (1.1), т. е. определитель матрицы
J XX JXY J zx
J = JXY J YY o. (1.5)
JZX 0 Jzz
Подставляя (1.4) в (1.3), получим кинетическую энергию тела как
квадратичную форму компонент кинетического момента тела относительно
закрепленной точки О
Т = -тг(?2хх&х + ^yy^y + ^zz^z +
+ 2Qxy^x^y + 2QYz^y^z + 2Qzx&z&x).] (1.6)
Таким образом, осуществлен переход от тензора инерции {Jxx, ... • • •,
Jzx) к гирационному тензору (Qxx, . . ., Qzx} (см. [138], п. 2.5).
Все это можно записать в более компактном виде:
1 1 k0 = Jffl, Т = - (к0; ю) = - (Jco, со),
со
J-^ko, Г = -1-(ко, J-iko).
(1.7)
2.2. Специальные оси координат. Повернем оси опорной'си-стемы координат
OXYZ вокруг оси ОХ на угол е в направлении от оси OY к 07\ новые оси
обозначим ОХХхХъ (см. рис. 19). Новые единичные векторы выражаются через
таковые опорной системы координат формулами
ex, = еу cos е + ez sin е, вхг = -еу sin е + ez cos е.
Матрица R, составленная из компонент нового базиса ех, ех,, ех, в опорном
базисе ex, еу, ez, имеет вид
-10 о
R = 0 cos е - sin е
0 sine cose
и является ортогональной: R-1 = Rx.
§ 2] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ 215
Матрица J тензора инерции в новом базисе определится формулой [146],
(1.1.27):
J = R-1JR =
J хх Jх у cos s ф J 2х sm ? J 2х cose J ^ у sin s
1
Jxv cos e -]- JZx sin 8 /yyCos*e + /zz sin^e ~2~(Jzz-^yy)sin2e 1
JZx COS 8 ^XY 8 2 (^ZZ ^yy) (r)Б1 2б ./"yy Slll^ 8 -|- ./"zz COS^ ?
Очевидно, det J = det J. Вычисления дадут для элементов обратной матрицы
= ~ШТ~ ' (е) = ЖГ[(/xxJry ~ Jxv) sin2 е +
+ (JxxJzz - Jzx) cos2e + JxyJzx sin 2e],
?33 (e) = ~deVj [(/xxlzz - Jzx) sin2 e +
+ (/xx/yy- /xy)cos2e- JxvJzx sin 2e], (2.1)
Til (e) = III (e) = - -^-j- (/yy/zx sin e + JzzJxy cos e),
J13 (e) = ^31 (e) = de* j (Jzz/xv sin e - /yy/zx cos e),
?23 (e) = 732 (e) = ' de?~J [t~ ^XX^YY - JxY -
- / xxJ zz + Jzx) sin 2e + / xy/ zx cos 2ej.
П. В. Харламов ([138], п. 2.6) ввел специальные оси связанной с телом
системы координат из условия /гз'(е) = 0, т. е. определил угол поворота
ех от опорных осей OXY7 к специальным ОХХгХ2 (отсчитываемый против
часовой стрелки, если смотреть от точки G к точке О), формулой
tg 2ех =--------------^x?zx------------- _ (2 2)
6 гг г2 г т I г2 ' '
JXXJZZ J ZX J ХГУУТJ XY
Значения (2.1) при e = ex обозначим, следуя П. В. Харламову:
'*¦'"1 *^У У4^ ZZ >у 1 *у-1
а - /и = -j- , 0,1 - Tii (ех), 0-2 - /33 (ех)>
(2.3)
bi - Tи (ех), Ъ2 = Ти (ех).
Заметим, что параметры а, а1ъаг заведомо положительны.
Согласно (1.7) кинетическая энергия твердого тела выражается через
проекции кх, kXl, кх, кинетического момента относительно
216
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
закрепленной точки на специальные оси ОХХгХ2 следующим образом:
Т = ± (ко, 1-^0) =
- ~2~{Р'кх -Ь (r)iAx, -Ь а,2кх^) 4~ (hkZl 4- Ь2кХг) кх, (2.4)
а проекции угловой скорости со тела на специальные оси суть
сох = акх + Ьгкх, + Ь2 кх" (2-5)
(Ох, = Ъ^кх + ахкх" (Ох, = Ъ2кх + а2кх,.
2.3. Уравнения движения тяжелого твердого тела в специальных осях.
Движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой описывается
системой уравнений
dк л /j,)Oi
= [к0Х(о] 4- [ZexXMgv0], рр = v°X(o, (3.1)
допускающей первые интегралы
(v°, v°) =1, (ко, v°) = koz; Т - (Mgv\ lex) = h, (3.2)
где ко - кинетический момент твердого тела относительно неподвижной точки
0,ех - единичный вектор, направленный в центр тяжести тела G, v° -
единичный вектор силы тяжести, I = 0G. Обозначим, как и в п. 2.2,
проекции вектора ко на специальные оси ОХХгХ2 через кх, кх" кх" а
направляющие косинусы вектора V0 в этих же осях через v, vl5 v2, и
запишем уравнения (3.1) и интегралы (3.2) в силу (2.5) в виде ([138],
уравнения (3.2.11), (3.2.12), (2.6.8), (3.3.16), (3.3.18) и (3.3.11))
dlz
рр = (b2kx 4- яа&х,) kXl - (bikx 4- aikx,) kx" pp = - Mglv2 4- (akx 4-
bikx, 4- b2kx,) kXs - (b2kx 4- '<hkxt) kx,
dk -y
-p- = Mgl Vi - (akx 4- hkx, 4- b2kXs) kx, 4- (Mr 4- " ikx,) kx, pp =
(b2kx 4- a-ikx,) Vi - (Mi 4- M^,) v2, pX = (akx 4- bikx, 4- b2kx,) v2 -
(b2kx 4- a2kx,) v,
pp - - (nkx 4- bikx, b2kx,) Vi -)- (bikx 4" aikx,) v; (3-3) V2 4 v? 4- v2
=1, kxv 4- kx,Vi 4- kx,v2 = k0z*, p-(akx 4- "1 kx, 4- агкх2) + (hkx, 4-
b2kXf) kx -Mglv = h. (3.4)
§ 2] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ 217
Система (3.3) допускает решение кх = кХ) = кХ2 = 0, vx = = v2 =0, v =1,
отвечающее нижнему положению равновесия. Положим во все время колебаний
v = 1 + N, (3.5)
и введя безразмерные переменные и параметры по формулам
