Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 63

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 87 >> Следующая

z2z3
X2 - i
асХ3
Z3Z6,
dt - - + (с - а) ^Z2 + ac}.2
^ = Z3 + ZXZ3 - z2z5 + (c
(2.2)
-fa - - ^Z6 - ^zlze + Z2Z4 +
(a - сЩ acX
Z4Z6,
IГ = ^ + X (V- E* + ^ E1) ** + "A.
Выпишем в ляпуновских переменных три первых интеграла в прежней
последовательности:
2zx + г* + Z4 + zs = 0, (2.3)
j
acX2z2 + acX2ZiZ2 + (с - a) ??z2z4 + -y- z4ze + Z3Z5 = (2-4)
-2zi + acX2z2 + Z3 + Zg = p2.
(2.5)
§ 1] ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ 205
Простейшая связка интегралов по Четаеву ([1446], стр. 430- 431) сводится
здесь к сумме тривиального интеграла (2.3) и интеграла энергии (2.5) и
дает положительно-определенную форму V всех переменных
V = Zi + acX2z?, + z2 + Z4 + z$ + Zg = р2,
что, напоминая об устойчивости нижнего положения равновесия, позволяет
определить область его притяжения в переменных р, q, г, у, у', у".
1.3. Резонансы. Формула (1.1а) устанавливает отношение частот линейной
части системы (1.1). Приравнивая это отношение р = тп/п, где тп и п-
взаимно простые натуральные числа, получим
4-s2+4-?2=p2' (зл)
или
а (р2с - 1) ?а + с (р2а - 1) С2 = 0 (I2 + С2 = 1). (3.1а)
В первом октанте пространства {а, с, ?2} уравнение (3.1) определяет часть
поверхности второго порядка
(а - с) I2 = с (р2а - 1) (3.16)
при естественных ограничениях
0 ^ |2 1, а + с> 1, с - а^1, а - с ^ 1. (3.2)
Последние три неравенства выражают известные соотношения, что сумма двух
любых главных моментов инерции не меньше третьего из них. При р = 1
уравнение (3.1) запишется в виде
А (С - В) I2 + С (А - В) С2 = 0. (3.3)
Это, как заметил Ф. X. Цельман [3336], условия на параметры твердого тела
в случае Гесса - Аппельрота [216]. Разумеется, уравнение (3.3) выполнено
и в случая Лагранжа - Пуассона (I = 0, А = В).
При р = 2 уравнение (3.1) примет вид
А (4С - В) I2 + С (4А - В) I2 = 0.
При условиях А = В, С = 0 имеем А = АС, что, как заметил Ф. X. Цельман
[3336], характеризует параметры твердого тела в случае Горячева -
Чаплыгина [386, 138].
Однако, уравнение (3.1) (или 3.1а), (3.16)), имеющее решение при любом 0
< р = mjn < 00, не имеет решения, отвечающего случаю Ковалевской [61] (р
=]/^2).
1.4. Простейшие движения. Начнем с перманентных вращений, во все время
которых р, q, г, у, у', у" постоянны, т. е. ось
206
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
вращения (с постоянной угловой скоростью) занимает неизменное положение в
теле. равнения (1.1) дадут
(1 - с) QR - & = 0. Ry' - Qy" = 0,
(с - a)RP + Ъу - 1ун = 0, Ру" -Ry = 0, (4.1)
(а - 1 )PQ+ W = 0, Qy - Ру' = 0.
Из последних трех уравнений имеем
Р = Qy, Q = Qy', R = Qy" (Q = +VP2 +Q2 + Я2), (4.2)
т. e. перманентная ось всегда вертикальна. Для определения ее положения в
теле умножим первое и третье уравнения (4.1) соответственно на ? и ? и,
сложив их, в силу (4.2) будем иметь
V'lE (1 - с) у" + ? (а - 1) у] = 0.
В рассматриваемом случае геометрическое место осей перманентных вращений
в теле (конус Штауде) распадается на две плоскости:
у = 0 и I (1 - с) z + ? (а - 1) х = 0.
Перейдем к маятникообразным движениям. Такие движения, как известно,
возможны относительно той из главных осей инерции (необходимо
горизонтальной и неподвижной в пространстве), которая перпендикулярна к
плоскости, содержащей центр тяжести. Именно наличие маятникообразного
движения и определило постановку задачи. Итак, положим в уравнениях (1.1)
Р = R = = Г' = 0 и возвращаясь к переменным у и у", получим
^ = = Qy¦ (4-3)
Поскольку у" = cos О, где й - угол нутации, то при у' = 0 имеем у = sinlk
В положении равновесия cos ¦& = ?, поэтому положим для маятникообразного
движения
•й = arccos ? + 0.
Из уравнений (4.3) получим уравнение маятниковых колебаний
в.Щ , ¦ гл г\
1? + ш9 = 0.
1.5. Преобразование уравнений диагонального вида. Выразим хг из
тривиального интеграла (1.5)
Х\ = -2~{х3 - ж4)2 (хь + хв)2 + [4]. (5.1)
Подставив это значение в интеграл кинетического момента
(1.6) и замечая, что х2 имеет тот же порядок малости, что и к,
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
207
получим
*2 = dp- к+ (*3*5 + ЗД,) -
~ ~Уг (Х'*Хй + ЧХъ) + '( ^k(xs - xi) + t3]- (5-2)
Всюду далее мы будем отмечать порядок малости отброшенных членов по
переменным ж3, ж4, жБ, хв и постоянной к. Теперь порядок системы
уравнений (1.4) понизится на две единицы и преобразованная система,
состоящая из двух пар комплексно-сопряженных уравнений (х3 = Ж4, ж5 =
Хв), примет вид
dx ",и4 + 2"W + 2асХ* %ь
, (1 + X) (с - а) Ц J2, i
2 асХ* 6 2 асХ*
dxa
dx
>-v44-?'-4-?)]**.-
- я? [' + -чг1 (т- Р - 4-1*)] ^ +
+ -^-i(x3 - х^) (ж3 - xl) - i (х3 + х^ (хь + жв)2 -
- к (*"*" + я4ж5) +
+ --^ * (Ж3Ж5 + ж4жв) - i(а А2 (*з - *•) +
+ 2ас\з Ч- 1) (*з*б + %iX3) -f- i (к - 1) (ж3ж5 -f- ж4жв) -f-
+к <¦* - *•>] {[* - ^ (-И1 - -г ?2)] **+
+[1+±т1(Ч-^-Ч-^)>"} + [41' <5-3)
= iu* + гШ [' - *¦ + Т ("Г + Чг ?2)] ь> +
+ ~**(Is _ *•) + SSt[- 1 - *¦ +
+ X (Ч-t*+-Н!)Ь + (-й?'чк -.(X, - х.)+
+ -^-ik (Х3 - ж4)2 (ж" _ Ж5) + -L а (4 - 4) (ж5 + жв) +
+ 2^[f ^ - ^ (ХзХъ + х*х*) ~ 1 (4 + ^ (ХзХв + Х1Хз) +
+ xf *(х. - X.)] {[1 - ^+4- (Ч- е+-г f)] "*+
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed