Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
относительно дополнительных дискретных групп преобразований. В статьях Л.
И. Маневича и Б. П. Черевацкого [284а, б] изучались вырожденные системы,
которые приводятся к сингулярно возмущенным уравнениям. Предложен
эффективный метод построения периодических решений таких систем.
Конструктивный метод определения нормальных колебаний многомерных
консервативных систем описан в статье [283] и статье Ю. В. Михлина
[296а]. В основе метода лежит построение криволинейных траекторий искомых
решений в конфигурационном пространстве, близких к прямолинейным формам
колебаний. Траектории построены в форме степенных рядов, установлена
связь с результатами Ляпунова [77а]. В статье Р. М. Розенберга [313а]
дано доказательство некоторых теорем существования нормальных колебаний.
В статье [2966] исследуются резонансные режимы и дается доказательство их
близости к нормальным колебаниям в нескольких частных случаях.
К главе V
Первоначальные сведения по автономным системам имеются в книге
A. Д. Мышкиса [92]. Затем рекомендуем монографию Ю. Л. Далецкого и М. Г.
Крейна [41], которую читатель нематематик может перелагать на язык
конечномерных пространств. Качественная теория развита в монографии
B. В. Немыцкого и В. В. Степанова [96], однако сведения по нормальным
формам попали лишь в ее первое издание (1947 г.).
§ 1. Обобщающие результаты по теории нормальных форм получены А. Д. Брюно
[234к]; там же читатель найдет библиографию.
п. 1.2. В основной теореме А. Д. Брюно [234к] не предполагается, что
жорданова форма - диагональная, т. е. рассматривается случай произвольных
элементарных делителей линейной части системы. Изложение п. 1.2
основывается на постановке задачи п. 1.1.
п. 1.3. Обобщения теоремы Пуанкаре (в случае нарушения условий 2) или 1))
даны К. Л. Зигелем [49] и В. А. Плиссом [304].
§ 2. Геометрическую интерпретацию (в пространстве показателей степеней)
"укороченных систем" и примеры использования последних читатель найдет в
работах А. Д. Брюно [234н].
п.2.4. Существование аналитического преобразования в вещественном случае
рассмотрено Л. М. Мархашовым [288] и А. Д. Брюно [234ц]. Обобщение
теоремы Пуанкаре в смысле существования конечно-гладкого преобразования к
линейной системе дано В. С. Самоволом [318] и А. Д. Брюно [234ц].
§ 3. Автор согласен с замечанием А. Д. Брюно [234м], что метод нормальных
форм, естественно, распадается на две части. Первая (алгебраическая)
заключается в указании алгоритма для построения требуемых формальных
разложений [234к]. В этой книге алгоритм доведен до расчетных
рекуррентных формул для общего случая.
Вторая (аналитическая) часть заключается в интерпретации результатов
посредством функций аналитических: Пуанкаре [188], Г. Дюляк [348], К. Л.
Зигель [49], В. А. Плисс [304], окончательный результат А. Д. Брюно
[234к], или гладких: Д. Биркгоф [12] и др., а также в оценке точности
приближенного интегрирования этим методом: Д. Биркгоф [12], К. Л. Зигель
[49], Ю. Мозер [297].
Нормальные формы не исчерпывают локального метода. Для дальнейшего
изучения локального метода (полунормальные формы, связанные с ними
8*
228
КРАТКИЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
интегральные многообразия и др.) отсылаем читателя к работам А. Д. Брюно
[234к, р - х], в которых содержится и библиография.
Распространение нормальных форм на неавтономные системы намечено в статье
В. В. Костина [268].
К главе VI Излагаются результаты статьи [322и].
| 1. Первым (после Пуанкаре [188]) представление общего решения уравнения
(V,1,1.1) через решения уравнения (V,l,3.2) получил Ляпунов [77а].
О связи рассматриваемых здесь задач с первым методом Ляпунова, а также по
более широкому кругу вопросов отсылаем читателя к ч. II обзорной статьи
Н. П. Еругина [476].
п. 1.2. Общее решение, в котором произвольные постоянные суть начальные
значения переменных (и их производных), будем называть решением задачи
Коши в общем виде.
К главе VII § 1. Излагается статья [322р].
п. 1.4. Постановка задачи принадлежит Я. Н. Ройтенбергу. Влияние люфта и
трения на свободные и вынужденные колебания рассмотрено в [322 а]. | 2.
Излагается статья [322х].
К главе VIII
п. 1.4. Подход К исследованию критических случаев устойчивости с более
общих позиций (например, без требования аналитичности правых частей)
намечен в монографии Н. Н. Красовского [70].
п. 1.4. Преобразования п. 1.4 - частный случай степенных преобразований,
развитых А. Д. Брюно [234в].
п. 1.5. Автор заведомо огрубляет содержание теоремы Ю. Н. Бибикова - В.
А. Плисса [227].
пп. 2.1, 2.4-2.7 - излагается содержание статьи [322м].
§ 4. Излагается содержание [1256, ч. II, § 6].
По исследованию критического случая трех пар чисто мнимых собственных
значений матрицы линейной части отсылаем читателя к статье В. Г.
Веретенникова [2396].
К главе IX
Исследования последних лет по динамике твердого тела и системы тел П. В.
Харламова, Е. И. Харламовой и их школы представлены в [83]. Обширная
библиография последних работ (70 названий) приведена в статье П. В.
