Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
виде
(п4 + т*) JyyJzz = п2т2 (Jyy + Jzz)- (5.3)
Очевидно, его решение есть
J
zz
5г- (5-4)
Например, в случае Лагранжа - Пуассона Jxx = С (ибо ось ОХ направлена на
центр тяжести тела), Jyy=Jzz = А, что соответствует (5.4) при т - п =1.
Однако в случае Ковалевской [61] Jxx = А и
Jzz J_
2 '
J-
YY
т. e. (5.4) не выполняется.
2.6. Применение метода последовательных приближений. Разрешим интегралы
(4.4) и (4.5) относительно переменных и v2
Vl
= - 1 + Vi
v\-
к -j- Уd%
[4],
(6.1)
1 + 1
e2
d%
vi + "1 У^2
= k+-%-kvl - e1Ydiko, + [3]. (6.2)
a 2
Разложения (6.1) и (6.2) с учетом (4.2а) сходятся при условиях
vi + v2 < 1 > -KN. (6.3)
Эти условия, очевидно, выполняются, если центр тяжести тела
при колебаниях не достигает горизонтальной плоскости, прове-
денной через неподвижную точку О.
Последние четыре уравнения (4.3а) представим в векторном виде как
= Bw + f (w, vx (w), v2 (w)),
W =
В
- 1
0
0
0
0
0
0
Ydl
0
0
-УЖ
0
(6.4)
222
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ
[ГЛ. IX
где f - вектор-функция, составленная из нелинейных членов. Возьмем за
нулевое приближение для системы (6.4) вектор, составленный из начальных
условий: w0 = w (0), а за первое приближение - решение системы
-^1 = Bwj + f (w0, Vx (w0), v2 (w0)).
Это решение при прежних начальных условиях w4 (0) = w0 имеет вид
wi СО = eTBw0 + В-1 (exS - I4) f (w0, Vx (w0), v2 (w0)).
Для компонент вектора w4 (т) получим выражения v\ (О - vs (0) cos т - p4
(0) sin т +
+ ["^ (- d' e\ v2, (0) + e2v5 (0) + {d d2
- e\ - d2e\- 2 v2 (0) v& (0) + exd2v3 (0) vb (0)j sin T - 2 ^ (0) vs (0)
-f- Yd2 {d' - e\ v2 (0) ve (0) -f-
+ Ydz exv3 (0) v3 (0) + Yd2 e2v6 (0) v3 (0) v\ (t) = v3 (0) sin т + n4
(0) cos т +
+ 2 j-^- ^ d -f- e\ -f- ~^)Vi ^ eiV& ft}
sin11
+
id'
d2e\ ¦
-) v2 (0) vb (0)
+
-f- exd2vз (0) v3 (0) sin2 -[- (0) v3 (0) -f-
-{- Ydi(d ву v2 (0) ve (0) -{- Yd-i exv3 (0) ve (0) -f-
+ Yd<i e2vb (0) v6 (0)] sint, v\ (t) = vb (0) cos Y d2t - Y d2v3 (0) sin
Y di x +
ex(d' 0)-eii;3(0) +
+ Vd2
+ M+2^+4+|)
v2 (0) v3 (0) -f-
+ vi (°) vb ft) (°) vb (°)] sin Yd2 T ¦
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
223
- 2 ^1?! (0) v5 (0) + ^- d' + е\ + v2 (0) У4 (0) -
~ ^ Vs (0) Vi (0) ~~iVi (0) v& (0) jsin2
va (x) = Vd2vb(0) sin }Л221 + v6 (0) cos ]/d21 +
+ 2
[d'-el-^jvl(0)-elV32(0)+
e2 e2
"2,2, 2
Vd2
+ ^1 - d' + 2ej + ^2 (0) v3 (0) +
+ v2 (0) vb (0) ~-^v3 (0) vl (0)] sin2 +
+ [yi (0) vb ((r)) "b ^- d' + el + v2 (0) (0) -
~lkVa v* ~lkVi Vb sin Уdi t-
Затем по формулам (6.1) и (6.2) вычисляются v\ (т) и v\ (т). Второе
приближение w2 (т) определится из уравнения
^- = Bw2 + f (Wl (т), v[ (т), vl (т)), решение которого даст (w2 (0) =
w0)
Т
W2 (т) = exBw0 + етВ § e-sB f_(wx (s), у} (s), v\ (s)) ds. (6.5) 0
Мы можем несколько огрубить результат, положив в (6.5) v\ (s) = 0 и v\
(s) - к. Это означает, что в (6.5) пренебрегается в выражении f членами
третьего порядка малости.
Запишем интеграл (4.6) в исходных переменных, воспользовавшись формулами
(4.2а)
(d - е\ и2 + (щи -j- Ki)2 +
+ d2 (-J и + Х2)2 + № + v' + v* = 2h' + 2' (6'6>
Допустим, что центр тяжести тела достиг горизонтальной плоскости,
проходящей через неподвижную точку О (N = -1, v(r) + + v2 = 1) с нулевой
угловой скоростью (и = их = и2 = 0).
224
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЁННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
Подставляя в (6.6), найдем что h' =0. Эта ситуация, как отмечалось,
является предельной для сходимости предложенного варианта
последовательных приближений. Поэтому интеграл (4.6) с учетом (h' = 0)
определяет поверхность шестимерного эллипсоида, внутри которого лежат
допустимые начальные значения переменных г?х" • • • " ^6i т- е- должно
быть выполнено неравенство
vl (0) + (d' - ei v% (0) + из (0) ~r
"b v\ (0) + d<iv\ (0) -j- d2pe (0) 2.
краткие литературные Указания
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ К главе 1
§ 1. Практический способ определения периодических решений систем
Ляпунова предложен И. Г. Малкиным [79а]. В. М. Соколовым [320]
определялись периодические решения некоторых видов систем Ляпунова, для
которых известный способ вычисления решений оказался затруднительным.
п. 1.1. Излагаются результаты статей [322д - ж, к, у].
п. 1.2. Это преобразование указано в [322к, о, у, ф].
§ 2. Изложение следует § IV.6 [146].
Метод Пуанкаре как для неавтономных, так и для автономных систем изложен
в монографиях А. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Хайкина [4], И. И.
Блехмана [15а], Б. В. Булгакова [25], В. Д. Мак-Миллана [78], И. Г.
Малкина [79а, б]. Практическому исследованию периодических решений по
методу малого параметра Пуанкаре посвящены статьи А. П. Проскурякова
[311а - о] и Г. В. Плотниковой [305а, б, в]. В них рассматриваются
квааилинейные автономные и неавтономные системы с одной или несколькими
степенями свободы, а также некоторые нелинейные системы и ряд особых
случаев.
Остановимся на одном нетрадиционном применении метода Пуанкаре в задаче о
движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, как в
исследовании общих свойств уравнений движения, так и в их
