Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
нулевое приближение х0 = х (0); тогда будем иметь
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
211
для первого приближения
^-Axx = f(x0) (8.2)
и для последующих приближений
^L_Axfc+1 = f(xfc) (& = 1,2, ...)•
Отсюда будем иметь
X
= е':Ах (0) -j- ^Af (xfc(s)) ds. (8.3)
о
Оценим стандартным образом норму разности
X
Xfc+1 (т) - хк (х) = \ е^А [f (xfc (s)) - f (xfc_! (s))] ds (fc = 1, 2,..
.).
0
Будем иметь
I Xfc+1 (т) - ХА (т) I < 4*Lt I e^-s>A I I xfc (s) - xM (s) |
(0 s^ т; к = 1, 2, ...),
где L - константа Липшица в замкнутой области, содержащейся в (7.5).
Таким образом, при
отображение (8.3) является сжимающим и последовательность {xjc (т)}
равномерно сходится на отрезке 0 т ^ т*.
Для первого приближения будем иметь из (8.2) и (8.3)
хх (т) = етАх (0) + А-1 (е'А - I4) f (х0). (8.4)
В развернутом виде формула (8.4) описывает процесс вставания тонкого
диска, достаточно сильно заверченного вокруг вертикали (эффект монетки).
1.9. Замечания по определению положения твердого тела с закрепленной
точкой. Мы исходим из интегрирования уравнений Эйлера - Пуассона. Однако,
найдя значения р, q, г, у, у', у" для данного момента времени t, мы
получим при этом только пять произвольных постоянных, ибо сумма квадратов
направляющих косинусов в любой момент времени равна единице. В то же
время начальные данные могут принимать шесть произвольных начальных
значений, например, р0, qQ, r0, <p0, фо> ^о> гДе Ф> ^ - эйлеровы углы.
Легко показать (см., например, [386], гл. I, § 5), что для полного
решения, кроме интегрирования уравнений Эйлера - Пуассона, необходимо
выполнить еще одну квадратуру. Действительно,
212
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
если для ф и -ft мы имеем конечные формулы [386]
Ф = arctg ~ , й = arccos у",
то для угла ф прецессии будем иметь
= J_ Гг *___________(Л. V' - .
dt у' [_ y^ + t"2 \ dt dt ']J
П. В. Харламов применяет иной способ определения положения тела в
пространстве, именно при помощи подвижного и неподвижного годографов
угловой скорости и дуговых координат. Этот способ ([138], п. 1.6)
называется естественным по аналогии с кинематикой точки.
§ 2. Общий случай
Система динамических и кинематических уравнений Эйлера как замечает А. Ю.
Ишлинский ([52а], гл. IV, § 1), оказывается малоудобной для изучения
поведения гироскопов. Эта замечание относится и к рассматриваемой в этой
главе задаче. В общем ее случае, если исходить из уравнений Эйлера -
Пуассона, имеется четыре независимых параметра, за которые можно принять
два отношения моментов инерции и два отношения координат центра тяжести к
расстоянию его до неподвижной точки. Если, как и в § 1, центр тяжести
расположен в одной из главных плоскостей эллипсоида инерции для
закрепленной точки (что всегда осуществимо, если последний является
эллипсоидом вращения), то число независимых параметров меньше четырех.
Оно равно трем в общей при сделанном допущении ситуации, не превосходит
двух в указанном случае эллипсоида вращения, равно одному в случае
Лагранжа - Пуассона и, наконец, в случае Ковалевской таковые параметры
отсутствуют.
Преобразование линейной части уравнений рассматриваемых в этой главе
колебаний к жордановой форме оказывается весьма громоздким, если исходить
из уравнений Эйлера - Пуассона. Если же число названных выше параметров
хотя бы на единицу меньше, чем в общем случае, то это преобразование
довольно компактно (см. п. 1.1). Однако если в задаче этой главы исходить
из специальных осей сопутствующей телу системы координат, введенных П. В.
Харламовым ([138], п. 2.6), то выкладки существенно упрощаются.
В этом параграфе, как и в § 1, мы проводим подготовительные
преобразования для применения методов малого параметра и метода
нормальных форм. Само же применение этих методов потребует значительных
усилий. Это отражает существо вопроса: движение твердого тела с
закрепленной точкой не сводится, вообще
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
213
говоря, к наложению колебаний, а описывается, как известно, качением без
проскальзывания подвижного аксоида по неподвижному (детальное
исследование проведено в [138]). Что же касается применения метода
последовательных приближений, то результаты п. 2.6 (см. также п. 1.8)
представляются достаточно эффективными.
2.1. Опорная система координат. Предположим, что центр масс G тела не
совпадает с закрепленной точкой О. Первую координатную ось ОХ проведем
через центр масс G тела, а две другие, OY и OZ, выберем из условия, что
центробежный момент инерции Jyz равен нулю.
Систему координат OXYZ, связанную с телом, назовем опорной (рис. 19).
Кинетическая энергия тела является, как известно, квадратичной формой
компонент угловой скорости
Т = -^-(Jxx^x + •/УУй> У -]- /zz(r)z "Ь XY^X^Y "Ь ^JzX^Z^x): (1*1)
где Jxx, Jyy, Jzz - осевые, a Jxy = Jyx, Jzx - Jxz (Jyz = = JZY = 0) -
центробежные моменты инерции тела. Восполь-
зовавшись формулами для проекций кинетического момента ко тела на опорные
оси
kx = J хх(r)х + J xy(Hy + ^xzft>z,
kY = J YXiOx + J Yl'COy, . (1.2)
