Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
непосредственном интегрировании. В 1953 г. Л. Н. Сретенский [321]
предложил применять метод малого параметра при изучении движения твердого
тела, приведенного в быстрое вращение вокруг неподвижной точки. В работах
Ю. А. Архангельского [219а, в] рассмотрено построение периодических
решений квазилинейных автономных систем, обладающих первыми интегралами,
что приводит к вырожденным случаям. Основываясь на этих результатах, в
статьях [2196, г, д] найдены новые частные решения быстро вращающегося
вокруг неподвижной точки тяжелого твердого тела.
К главе и
Составным математическим, физическим и упругим маятникам посвящена
многочисленная литература. Укажем статьи Е. Меттлера [367а], Р. Н. Страб-
ла [390а], Дж. Хайнбокела и Р. Н. Страбла [359, 393а, Ь], Б. И. Чешанко-
ва [335а - д], содержащие обширную библиографию.
§ 1. Излагаются результаты статьи [322г].
п. 1.6. М. 3. Литвин-Седой [278а, б] установил, что если плоский
математический маятник переменной длины увлекается ускоренным движением
точки его опоры, то даже при отсутствии внешних сил возникает
восстанавливающая сила, создаваемая силой инерции от поворотного
ускорения маятника.
§ 2. Излагаются результаты статьи [322в].
$ В. М. Старшинский
226
КРАТКИЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
К главе III
Оригинальные статьи Б. Ван-дер Поля [373а, Ь] переведены на русский язык
[30]. Метод осреднения изложен в монографиях Н. Н. Боголюбова [17], т. I,
Ю. А. Митропольского [85г], В. М. Волосова и Б. И. Моргунова [33], Е. А.
Гребеникова и Ю. А. Рябова [39], ч. I.
Вопросы точности в теории нелинейных колебаний рассматривались в работах
Ю. А. Рябова [3166-д] и С. А. Горбатенко [244а - г].
Здесь излагаются статьи: § 1 [322з], § 2 [322л], § 3 [322о], § 4 [323].
§ 1. Первые результаты, относящиеся к перекачке энергии при колебаниях
упругого маятника, принадлежат А. А. Витту и Г. С. Горелику [240].
Перекачка энергии при изгибно-крутильных колебаниях описана в работе
B. О. Кононенко [265а]. Перекачка энергии исследовалась в статьях Р. Н.
Страбла [390b], Р. Н. Страблаи Дж. Хейнбокела [393а, Ь], Р. Н. Страб-ла и
Г. К. Вармбруда [394], Б. И. Чешанкова [335а, б], Ф. X. Цельмана [333а],
К. А. Меркера, П. JI. Риса и Ф. Дж. Фахи [366].
К главе IV
§ 1 Системы Ляпунова изучались И. Г. Малкиным [79а, б]. В гл. VIII [796]
рассматриваются системы, близкие к системам Ляпунова, однако в другом
смысле, чем у нас, именно неавтономные системы.
пп. 1.1, 1.2, 1.5. Излагаются результаты статьи [322н].
п. 1.2. Доказательство теоремы Пуанкаре о разложении интегралов
аналитических систем дифференциальных уравнений по степеням малого
параметра читатель найдет также в монографии В. В. Голубева [38а] (гл.
III, § 2).
п. 1.3. Как показано во введении кп. 1.3, наше рассмотрение выходит за
рамки уравнения х -j- w2x = еф (х, ±). Последнему уравнению, как в
скалярном, так и в векторном случае посвящена многочисленная литература,
из отечественных трудов назовем монографии А. А. Андронова, А. А. Витта и
C. Э. Хайкина [4], Б. В. Булгакова [25], И. Г. Малкина [79а, б], Н. Н.
Боголюбова и Ю. А. Митропольского [18а], Н. Н. Моисеева [90], Я. Н.
Ройтен-берга [117]. Вместе с тем подчеркнем, что п. 1.3 является
некоторым дополнением к изучению общего случая колебаний системы с одной
степенью свободы, описываемых уравнением х -}- / (х) = еф (¦),
проведенному Б. В. Булгаковым [25], Н. Н. Моисеевым [90] и Я. Н.
Ройтенбергом [117].
пп. 1.3, 1.4. Излагаются результаты статьи [322щ].
§ 2. Системы, близкие к системам Ляпунова, исследовались И. Г. Малкиным
[796], рассмотревшим периодические решения, обращающиеся при р, = 0 в
ляпуновские решения и периодические решения в случае резонанса. С. Н.
Шиманов исследовал вопросы существования, практического вычисления и
анализа устойчивости периодических решений, используя разработанный им
метод вспомогательных систем [336а, в, г].
Частный случай систем типа Ляпунова был изучен В. М. Соколовым [320]; с
иной точки зрения подобные системы рассматривались Ю. А. Рябовым [316а].
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Предостережем читателя в терминологии. Здесь рассматриваются нормальные
формы систем дифференциальных уравнений и их приложения к задачам
колебаний.
Наряду с этим в теории колебаний рассматриваются нормальные колебания,
которым отвечают прямолинейные траектории в конфигурационном
пространстве. Приведем краткие литературные указания для последних.
Определение нормальных колебаний приведено в [313а, б]. Для широкого
класса
КРАТКИЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
227
квазилинейных систем существование решений, близких к нормальным
колебаниям, доказано Ляпуновым [77а]. В статье JI. И. Маневича [281]
показана возможность трактовки нормальных колебаний в терминах теории
инвариантно-групповых решений, развитой Л. В. Овсянниковым [98]. В
статьях Л. И. Маневича и М. А. Пинского [282а, б] обнаружены некоторые
новые классы систем, допускающие прямолинейные и криволинейные нормальные
формы колебаний, в силу того, что соответствующие системы инвариантны
