Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 56

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 87 >> Следующая

- -L (1 + X) КГ А - -L (1 - X) ^ ВГ + ±- (1 - X) а2 -
- - л) К (± + К) ад2 + -L(l + X) А (4- + А) ГА2
с точностью до членов третьей степени переменных включительно.
Производная от функции
W = a2 (l - Д - 4-а2) + В'2 + Г* +
+ Д2 (l + АД - -|~АД2) +^-(а2-АД2)2, (7.2)
180
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
взятая в силу уравнений (7.1), равна нулю. При условиях
A<l--L"2, AX<A<A2, (7.3)
где Aj и Д2 суть корни квадратного уравнения КА2 - ЗАД -3 = 0,
А... = 4(1 Т]/ 1 + тт)-
функция W определенно-положительна в смысле Ляпунова. Заметим, что
_-L<a1<0, з < д2.
Итак, тривиальное решение системы (7.1) устойчиво по Ляпунову и область
(7.3) в пространстве а, р, у, А является областью допустимых начальных
условий.
Однако система (7.1) (как и система (1.3)) является приближением системы
(1.1), хотя и довольно высокого порядка - до третьих степеней переменных
включительно. И пока не высказано суждение о сходимости первого интеграла
системы (1.1), для которого (7.2) представляет разложение до четвертого
порядка включительно, мы вправе лишь говорить о формальной устойчивости
[234д] положения равновесия а = р= у = 0, е = е0 системы (1.1).
§ 3. О траектории, описываемой центром поперечного сечения вала за один
оборот
3.1. Постановка задачи и уравнения движения. Изучению колебаний роторных
систем посвящено большое количество как теоретических, так и
экспериментальных исследований. Сейчас многие ученые считают, что
большинство вопросов, представляющих интерес, получило законченное
решение. В то же время ряд явлений, наблюдаемых в роторных системах,
остался за пределами внимания. Так, до сих пор не получили объяснения
случаи усталостного разрушения устойчиво работающих роторов (веретена
типа ЭВА). В самом деле, в рамках существующих представлений устойчиво
работающий вал в равножестких или абсолютно' жестких опорах описывает в
любом своем сечении по длине круговую траекторию. Следовательно, вал
находится под действием статических напряжений (за исключением напряжений
от собственного веса), не способных вызвать его усталостного разрушения.
Однако, как показывает опыт, круговые траектории в роторах почти не
встречаются. Причиной появления некруговых траекто-
§ 3] О ТРАЕКТОРИИ, ОПИСЫВАЕМОЙ ЦЕНТРОМ ВАЛА 181
рий является "некруглость" подсадочного места под наружное кольцо
подшипника в опоре. Эта "некруглость" присутствует во всех без исключения
опорах, и вызвана тем, что отверстие под подшипник невозможно расточить
точно по кругу вследствие биения сверл и разверток. Отсюда ясно, что
изучение форм траекторий, описываемых центром поперечного сечения вала в
пределах одного оборота, представляет как практический, так и
теоретический интерес.
Насколько нам известно, подобных исследований до работ Э. А. Попова [309,
310а, б] не проводилось.
Наиболее сложным является выбор упрощенной модели, с достаточной степенью
точности воспроизводящей качественную картину поведения системы.
Как наиболее простую модель, возьмем невесомый вертикальный вал (рис. 15)
с массой пг, закрепленной на валу с эксцентриситетом е. Массу выбираем
как приведенную по известной методике [44, 45]. Предполагаем, что вал,
абсолютно жесткий на кручение, расположен в абсолютно жестких опорах и
приводится во вращение приводным элементом, с которым он имеет жесткую
связь, с постоянной угловой скоростью со0. Пусть в некоторый момент
времени масса оказалась отклоненной от равновесной траектории. Тогда
скорость ее движения по траектории окажется не постоянной. Сила инерции,
действующая на массу, станет нецентральной и вызовет у вала появление,
кроме радиальной, тангенциальной силы упругости. В самом деле, если бы
вал не получал бокового изгиба, то движение массы по траектории в сторону
вращения в период разгона было бы невозможно. На основании этого
потенциальная энергия системы может быть представлена как сумма работ сил
инерции на пути радиальной и тангенциальной деформаций, т. е.
II
О
Рис. 15.
п = 4-/сг2(1 +"2)'
(1.1)
где а - отклонение по углу радиуса-вектора г точки закрепления массы на
валу от своего расчетного положения при ф = со0 = = const.
182
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII)
Вычислим кинетическую энергию системы, переходя к полярной системе
координат по формулам
xs = г cos (со0< - а) + е cos со0t, ys = г sin (со0t - а) + е sin со0<
Г = Уго{(т) + г2 ((r)° ~ ll) +
-f co0esignc|^-2-^- sina + 2r ^со0 - ^-^cosa + co0J| , (1.2)
где к - жесткость вала в месте крепления массы, с = р2 - coq, р -
собственная круговая частота изгибных колебаний вала.
Уравнения движения точки закрепления массы на валу будут иметь вид
~ - г (со0 - - coq6 cos a sign с -j- pzr (1 + a2)
= 0, ^
r2 - 2r (co0- 4^)-^- + coq6 sin a sign с + p2r2a = 0.
dt2 p dt j dt
Считая угол a достаточно малым и заменяя cos а первыми двумя
членами его разложения в ряд, получим
(Рг | . 0 da f da \ъ . " , .
-\ сг -\ 2сооГ -jf - r -I p ra2 +
-f - cooea2 sign с - а?0е sign с = 0, (1.4)
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed