Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
^-Оз"
^-2-2 == - &22 == - ^ /2) ^1 "f" з,
a_2-2 = - 022 = - ? (Ь + /2) Di - inD3,
a_2-2 = - a22 = i (5 -f- /2) ^i - inD3,
CL-и z= - ^-11 ==: ^ "f" A2) -^1"
§ 3] О ТРАЕКТОРИИ, ОПИСЫВАЕМОЙ ЦЕНТРОМ ВАЛА 187
a:2u = - alu = - i |l (О + Пь (2.16)
2аГ}-2 = - 2а}2 = i (g + 2fe/) DL + i (g + s) D3,
2a*1_2 = -2aia = -i (? + 2^/') ^1 + "'(? + s) D3,
2a_2_2 = - 2a12 = - i (g -f- 2hj) - i (g -f- s) D3,
2a_i_2 = 2a12 = i (g -f- 2kj) Di - i (g -f- s) D3,
2alia = - = i (g ~ 2hj) D± + i (q - s) D3,
2ai12 = -2a^2 = -i (g ~ 2hf) D± + i (q - s) Ds,
2a:22 = - 2a2_2 = - i (g - 2hj) D1 - i(q - s) D3,
2a212 = - 2ai22 = i (g - 2hj) D1 - i(q - s) D3,
d~22 = d _22 = i (I) f) I) \,
(r)-22 = (r)-22 = I (Й + /2) -Dl •
Таким образом, все коэффициенты при квадратичных членах (и при линейных -
тоже) оказываются чисто мнимыми и аЦ-ъ. = api = = djh (*v" j, h = ^ 1, ^
2).
3.3. Приведение к нормальной форме. Исключим из рассмотрения % = т. е.
будем -предполагать, что (см. начало п. 3.2)
<оа Ф 2(0,. (3.1)
Тогда нормальная форма с точностью до членов второй степени переменных
включительно, как это показано в п. 1.2, имеет вид
dv.
+ [3] (v = +1, -f- 2). (3.2)
Нормализующее преобразование при этом
Хч - Уч + 2 а1тУ1Ут [3] (V = -(- 1, -(- 2), (3.3)
I, m==Fl, +2
где коэффициенты определяются формулами (1,3.1)
"Гт = (V, I, тп = + 1, + 2). (3.4)
188
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VIII
Напомним, что ХТ1, ХТ2 определяются формулами (2.4), щт - формулами
(2.16) конца предыдущего пункта. Очевидно, что все ajm вещественны.
3.4. Решение задачи Коши в общем виде. Общее решение системы (3.2)
у" = (0) (v = T 1,^2)
позволяет решить поставленную задачу для исходной системы с принятой
степенью приближения. В силу (3.3) имеем
Xj (т) = еХ^(0) +
+ 2 "Ui(0)2/m(0)e(V^ + [3] (/ = + 1,+2). (4.1)
I, m=qFi, qpa
Подставляя полученные выражения в формулы (2.11), получим для исходных
переменных общее решение в виде
-у z_i = Re ух (0) cos т - Im уг (0) sin т +
+ Re уг (0) cos Хт - Im y2 (0) sin Хт + 2 (aim 4- a?m) X
lt m
X |^lm COS -(Xj + Xm) T - /lmsin - (Xi + Xm) t] ,
-y Zi = - ai2 Re yx (0) sin т - ai2 Im yx (0) cos т -
- a"! Re уг (0) sin Хт - aii Im y2 (0) cos Хт -
((r)2(r)Irn + (r)l(r)?m) J^lm sin -у (X, + Xm) T ~\~ I im COS - (Хг + Xm) tJ,
l\ m
-y z_2 = d2 Re yx (0) sin t + d2 Im yx (0) cos т +
+ dx Re y2 (0) sin Хт + dx Im y2 (0) cos Хт +
(d^Oim + ^lCtfm) jrnSin--j- (^1 + ^m) T 4" I Im COS-y (Хг + Xm) tJ ,
/,171
1
-y z2 = co2 d2 Re yx (0) cos т - co2 d2 Im уг (0) sin т +
+ aii dx Re уг (0) cos Хт - aii dx Im y2 (0) sin Хт +
+ ^^((Ozdzufm -f- (OxdxOim) ?i?imCOS -7- (Xj Xm) T -
I, m
^Im "1" ^m) "
§ 3] О ТРАЕКТОРИИ, ОПИСЫВАЕМОЙ ЦЕНТРОМ ВАЛА 189
где для сокращения письма обозначено
R,m= Re [ух (0) ут (0)] = Re ух (0) Reym (0) - Im ух (0) Im ут
(0),
Ilm= Im [уi (0) ут (0)] = Re г/, (0) Im ут (0) + Im ух (0) Re ут
(0).
Остается выразить начальные значения г/у (0) через начальные значения
исходных переменных z;- (0) (v, / = + 1, + 2). Обращая нормализующее
преобразование (3.3), получим
(0) = (0) - 2 a]hx} (0) xh (0) (v = + 1, + 2),
г, *
и подставляя значения (2.10), будем иметь г/v (0) = (- I)4 (-^)|V| 1 Dz-i
(0) + sign v (- l)v i * Dizi (°) +
+ sign v (- l)v i 1 D2z.2(0) - (- l)v D3z2 (0) -
- 1)j(^r)'Jl 1dz-A°) + sign/(- 1)J' г(-^-)Ы 1D1z1(0) +
h h
+ sign j (- 1)J i (-f)13' 1 D2z_2 (0) - (- 1)J D3z2 (0)J x
*[<" 1)'l(^)"l|_1^(°) + signA(-1)hi(f)1'11"1 X
X Z?iZi(0)-y signA(- I)11 ? (x~)IN 1 Д22-2(0) - - (-l)h D3z2(0) (v =
+1, + 2).
Суммирование всюду по значениям индексов ±1, +2 независимо одно от
другого.
Для примера по полученным формулам в [3106] был проведен расчет
траектории, описываемой моделью, имеющей параметры:
к = 5,926 кГ/см, тп = 0,2635* 10-4 кГсм~гс2,
I = 2*10_3 см, р2 = 22,51 *104 1/с, (Dq = 800 1/с.
При этих параметрах г0 = 3,085 *10~3 см.
В качестве начальных условий были взяты: начальное отклонение от
равновесной траектории z_± = 0,3 г0 = 0,9255* 10~3 см\
из условий равенства момента количества движения массы при
г = г0 и гг = 1,3 г0 была получена угловая скорость ф = 4321, откуда z2 =
800-432 = 368 1/с. Начальные значения остальных переменных (zx и z_2)
были приняты равными нулю.
Подставив в (2.7), (2.14) численные значения параметров, вычислим затем
коэффициенты a)h (v, j, h = +1, q=2); по формулам (2.16)
и коэффициенты a)h (v, j, h = q=l, =р2) по форму-
лам (3.4). После этого вычислим начальные значения уч (0) (v = = =pl,
q=2) и наконец z_! (#) и z_2 (f), которые при пренебрежении
190
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
постоянными составляющими имеют вид
z_! (t) = 0,752-10"3 cos (Oji + 0,175-10-3 cos <a2t -
- [0,336 cos 2 m2t + 0,094 cos 1,15 <a2t +
+ 0,038 cos 0,85 co2t - 0,006 cos 2<o1i]-10-3 cm, Z-2(t) = 0,257 sin (oxt
+ 0,082 sin m2t -
- 2-0,017 sin 2co2t - 2-0,002 sin 1,15 <x>2t +
+ 2-0,013 sin 0,85 w2t + 2-0,001 sin 2to1i.
Из этих выражений видно, что применение метода нормальных форм дает
уточненное решение и позволяет получать траектории
