Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.3) суть
+ (А + со) i, | А - со | г (г = ]/-1).
(1.7)
Матрица Sj линейного преобразования, приводящего линейную часть системы
(1.3) к диагональному виду, составлена, как известно, из собственных
векторов матрицы А и равна
Si
1 1 1 1
•- i i - i i
-1 -1 1 1
- ? i i - i
(1.8)
Нетрудно выписать матрицу S2 линейного преобразования, приводящего
диагональную систему к ляпуновской кососимметричной форме:
1 - i 0 0
1 1 t 0 0
2 0 0 1 ~-i
0 0 1 i
Матрица S результирующего преобразования равна
1 0 1 0
0 - 1 0 - 1
- 1 0 1 0
0 - 1 0 1
170 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
Итак, сделаем в системе (1.3) линейную замену переменных (выпишем рядом и
обратное преобразование):
а = ? + ?, В = -т] - Г - ? - ?, Д = X - Л (1-9)
(Е"4-("-Г),т,= -±-(В + Д),
е = 4-(а + Г),х = 4-(Д-В)).
Таким образом, уравнения движения (1.1) в предположении (1.6) и при
сохранении членов до второй степени переменных включительно, можно
записать в новых (также безразмерных) переменных в виде системы
-S-=-Ti-4-^+^+(1 +4-*Ь*+
-у- = S 4- 4- ['* - i) bi - (К + к) с:< 4г (1 - ХК) п? +
+ X(T+JP)Sxl,
¦§- = -Ьх + 4*^ + D*--rW- Ц1+-Г*У+ (1Л0)
+ (-у Щ"
-g- = х? + 4- ;1 + К)1ч + (tf - № + (1 + ьк) л? +
+ Ц1-Я)?хЬ
Здесь введено безразмерное время
t = (N + (в) t (1.11)
и содержатся два безразмерных параметра: К (см. (1.4)) и
¦^=4тF (° < ^ < !) (1-12)
(можно рассмотреть и случай ы )> N, введя X' = -X). Заметим, что система
(1.10) обратимая (7-инвариантная), т. е. не изменяется при замене ? на -
?, ? на - ? и т на - т.
2.2. Преобразование системы ляпуновского вида. Система
(1.10) является системой Ляпунова ([77а], §§ 33-45), если она
допускает аналитический и знакоопределенный в некоторой окрестности
нулевых значений переменных первый интеграл. Нетрудно проверить, что при
ХЕ= (0, 1) система (1.10) допускает в рассматриваемом приближении
знакоопределенный первый
ЗАДАЧА А. Ю. ИШЛИНСКОГО
171
интеграл
Н = |2 + ц2 + С2 + X2 + К (X3 ~ О3) +
+ 4-"" (^2 + ?2 -- -т * + ?* - ЗЯт>2) +
+ S?(0 - Х)+ [4] = (1* (|*>0)- (2-1)
Однако, поскольку не установлена сходимость (2.1), то систему
(1.10) будем называть системой ляпуновского вида.
Основываясь на интеграле (2.1) и подстановке Ляпунова
? = р cos О, г) = р sin *, ? = pzi, X = pz2, (2-2)
в п. I, 1.1 указано преобразование системы Ляпунова к неавтономной
квазилинейной системе, при котором порядок понижается на две единицы.
Обозначим квадратичные (и более высокие) члены в уравнениях (1.10)
соответственно через
s (?, ть ?, X), н (?, Г), ?, Х)> Z (I, Г), с, X), X (I, Г), ?, х)
и вычислим функции
Р (р, О, z1; z2) = р~2 (S cos О + Н sin О),
0 (р, О, zu z2) = р~2 (- S sin О + Н cos О),
Z1 (р, О, zu z2) = p-2Z - ZiP,
Z2 (p, 0, Zj, z2) = p-2x - z2P.|
Будем иметь
P = (2 + 3X) sin 0 sin 20 -f (1 - XX) Zi sin2 0 -f
О ^
-f (X - 2X) z2 sin 20 (cos 0 -f zx)2 cos 0 -f
4 X (1 + K) ZiZ2 sin 0 -f Xz2 cos 0 -j- О (p), 0 = - ^1 + -i-X^ sin30 -f
(K - 1) cos 0 sin 20 4-
+ (1 - XX) zi sin 20 + К -X^jZi sin2 0 +
+ ~ X (1 + K) ZiZ2 cos 0 Xz2 sin 0 -
^-(X -f X)z2cos20 + -^-(cosO + Zi)2 sin 0 -f 0(p), (2.3)
Zx= XX sin2 0 -f (^- XK - 1^) z2 sin 0 -f
+ X (cos 0 + zj)2 y (1 - XX) z2 sin2 0 -
(2 -f- 3X) Zi sin 0 sin 20 -j- (2X - X) ZiZ2 sin 20 -
172
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
- X (1 + K. 'j z\ + (cos й 4- zi)2 Zi cos й -
Y X (1 -f K) ZjZ2 sin й y Kziz2 cos й + О (p),
Z2 =-(1 + A') sin 2D- + (1 + XK) Zi sin й +
4- (/? - X) z2 cos й (2 4- 3K) z2 sin й sin 2D- 4-
+ X (1 - K) ZjZ2 y (1 - XK) ziz2 sin2 й 4-
+ (2A[ - X) z2 sin 2й 4- (cos й + z{f z2 cos й -
\f-X (1 + K) ziz\ sin ¦O' \-Kzl cos# + О (p).
В результате преобразования мы придем к неавтономной квазилинейной
системе вида (1,1,1.9)
-jY = - Xz2 p. (1 + z\ -\- [Zi (0, й, zi, z2) +
4-A,z20 (9, й, z1? za)] 4~ О (p.2), (^-4)
-JY - Xz\ 4~ (i (1 + z'i 4" zl)~'2[Zi (0, й, Z\, z2) -
- Xzi9 (3, й, zu z2)] 4- О (p,2).
К системе (2.4) можно применить различные методы малого параметра. Здесь
остановимся на одном из них - методе Пуанкаре ([107а], т. I, гл. III)
определения периодических решений.
2.3. Определение периодических решений. Будем искать периодические
решения системы (2.4) в виде
Zl (О) - z? (й) + pz[ (й) + [i2z? (й) 4- • • • ,
Z2 (Й) = Z2 (Й) 4- \iz\ (й) + pi2zi (й) + . . . ,
и подставляя эти ряды в (2.4), получим системы уравнений для определения
z", z2 и z[, z\:
tfz? . tfz(r) "
-^gT=-^Z2, ~JY=.^zli (^-2)
dz^ 2 2
~JY = - Xz\ 4~ (1 4~ zi 4~ z2 )_1,г №i (0, й, zj, z2) 4~
+ Хг"0(О,й,г?, z")], (3.3)
dz^ 2 2
~JY - ^zi 4~ (1 4~ zi 4~ z° )~1<2 1^2 (0, й, zj, z2) - Xz^S (0, й, Zi,
z2)].
§ 2] ЗАДАЧА А. Ю. ИШЛИНСКОГО 173
Общее решение системы (3.2) является ^^-периодическим:
z[ = С cos Ш -\- D sin ХФ, z\ = -D cos Xfr + С sin Xfr. (3.4)
Решение (3.4) можно рассматривать и как 5гТ'(Х)-периодическое, где q -
любое натуральное число. Правые части уравнений (2.4) (и (3.3)) зависят
от явно независимой переменной и эту зависимость можно рассматривать как
