Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 52

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 87 >> Следующая

отрицательной ветви гиперболы ab = 1. Выше прямой а + Ъ = - 2 находится
область монотонной устойчивости.
х) В пп. 1.2 и 1.3'это предположение необязательно.
166
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
Доказательство. Сложив уравнения (4.3), получим
d (и, + уг)
dx
(Av, v),
где
v2
-1
(а + Ь)
Напомним, что vx и v2 - неотрицательные переменные. Поэтому условия
отрицательной определенности матрицы А являются достаточными условиями
асимптотической устойчивости тривиального решения системы (4.3).
Последние же приводят к неравенствам
- 2 < а + 5 и а + Ь < 2. (4.4)
Покажем, что второе условие может быть снято. Рассмотрим V-функцию
у = 4-к+ ">.)*.
являющуюся для неотрицательных переменных vx и у2 определенно-
положительной. Производная ее, взятая в силу (4.3), равна
dV = - У(r) - (а + Ъ + 1) vxVi (vi + у2) - v*
dT
и будет определенно-отрицательной при условии
а + Ъ + 1 > 0.
(4-5)
По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости при условии (4.5)
тривиальное решение системы (4.3) асимптотически устойчиво. Из условий
(4.4) и (4.5) остается одно,
а + b - 2,
что и доказывает вторую половину критерия.
Перейдем к доказательству его первой половины. Будем искать решения
системы (4.3) вида
v*
V"v(x) (у(r) > 0, х = 1, 2).
(4.6)
Подставляя эти выражения в (4.3), будем иметь
dv о /Г>, .
ЗАДАЧА А. Ю. ИШЛЙНСКОГО
167
Отсюда найдем
_ а (а - 1) р(Ь-1)
1 1 - аЪ ' 2 " 1 _ аЪ '
При а О 0 решение (4.6) стремится к бесконечности при т -> оо. Поскольку
yj _> 0 и О 0, то условие а О 0 будет иметь место при выполнении
неравенств
аЪ 1, а < 1, Ъ < 1,
что и доказывает первое утверждение критерия.
Примечание. А. М. Молчанов утверждает также ([2986]), что между
отрицательной ветвью гиперболы аЪ = 1 и прямой а + b - - 2 расположены
формально устойчивые системы (4.3), решения которых могут, однако,
возрастать перед тем как начать затухать. Степень "раскачки" в таких
системах грубо оценивается числом | а | + | b |. Ясно, что при большой
"раскачке" такие системы могут оказаться практически неустойчивыми.
1.5. Критерий Ю. Н. Бибикова - В. А. Плисса. В случае а) п. 1.1
коэффициенты gy и hy (v = + 1, 2) системы (2.10) -
чисто мнимые, т. е. критерий А. М. Молчанова заведомо отказывает. Выпишем
в этом случае второе и четвертое уравнение системы (2.10) (JiG (0, 1);
> ~|") в виДе
dyi - iyi + i ,(-y- г/i | уг |г + -у г/i | у212) + [4],
dx
У2 ^Уг + г ( -у- г/г | У\ Р + -у- Уг | У г р] + [4].
dx
(5.1)
Система (5.1) есть частный случай системы (1.2)
В применении к (5.1) теорема Ю. Н. Бибикова - В. А. Плисса [227] приводит
к следующему критерию: Если X - иррациональное и (см. (3.6))
h.h,) ф 0, (5.2)
то "почти вся" е-окрестность начала координат заполнена почти-
периодическими движениями, т. е. положение равновесия "практически"
устойчиво по Ляпунову.
§ 2. Задача А. ТО. Ишлинского
Изложение в пн 2.4-2.6 не зависит от пп. 2.2, 2.3.
2.1. Преобразование уравнений движения к ляпуновскому виду. В монографии
А. Ю. Ишлинского ([52а], приложение 2) получены точные (в рамках
прецессионной теории) уравнения дви-
16В нормальные фо?мы 4-го й 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
женин (40) *) гироскопической рамы чувствительного элемента
гирогаризонткомпаса относительно трехгранника Дарбу. Выпишем эти
уравнения в предположениях (17), (41), (47) и в дополнительном
предположении о равномерности движения точки подвеса по сфере:
da mlv со
-df= 2B^C0SaC0S4 +
+ -2&Itg P C0S T + -W cos "P -
df5 mlv w
" о-i mgl -a ¦ v .
- cos a cos p sin у 4- -sin p sin у - -5- sin a,
s e r ' 1 2B cos e r ' R 1
dt 2B cos
dy 2В cos e mlvш . "
-37- = Г5 ТГ5 COS a sin p COS V -
dt mlR 2Z?cose r 1
mgl sin2 P v cos a
2Z?cose cos P COST ^ cos p '
dz mlvm ¦ (sin a cos у + cos a sin p siny) +
(1.1)
dt 2B sin e
mgl
2В sin e
cos P sin y.
Заметим, что система (1.1) - обратимая (f-инвариантная), т. е. не
изменяется при замене а на -а, у на -у и t на - t. Следуя (45), (19),
(20), положим в уравнениях (1.1)
'"'• + 2ВЖГ0Д (""". =-1F <') <'-2>
и, ограничиваясь в уравнениях (1.1) членами до третьей степени
включительно, запишем систему (1.1) в виде
da
dt
NB + соД - 4~ coa2 + oi(l + + МВД -
L(0a2A + co(l +-^-K^bs+N(l +^-^)ВД2,
- Net 4- соГ + NBT + соГД
dt
+ _L Na3- 4* (r)"2Г + (r) (l + 4" K) ГД2 + ^ВГА'
(1.3)
= _ coB - Д + 4- Wa2 - NB2 + 4- NKb2 - соВД +
at Z4
+ 4- NKb3 + 4- (r)"2B - CO (l- + 4" к) ВД2 - NB2&,
1) Всюду ниже формулы с одинарной нумерацией относятся к [52а].
ЗАДАЧА А. Ю. ИШЛИНСКОГО
1G9
~ = - соа + лгг + соАссД - со ~ ВТ - NICFA -dt ' ' Ni
- со (±-К + А2) ад2 + -1-соа3 + NK (^- + Я) ГД Здесь введены параметры
v = -i> к = шЁщ&="*'°о
и переменные
т> iV Q "р iV .
а, В = - р, Г = - у, Д,
(1.4)
(1.5)
а также здесь и в дальнейшем пренебрегается величиной У2 по сравнению с
N2:
F2
ДГ2
1.
(1.6)
При скоростях v точки подвеса до 100 м/с последнее означает, что
отбрасываются величины меньше 1,5* 10-4 по сравнению с единицей.
Собственные значения матрицы А линейной части системы
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed