Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
к ЕЕ (0, 1) без этого единственно возможного исключения.
2.5. Решение задачи Коши в общем виде. Общее решение системы (4.5)
z/" = ех^г/" (0) (v = + 1, q= 2)
позволит решить задачу Коши в общем виде для исходной системы (1.1) с
рассматриваемой степенью приближения, рсновываясь на формулах замены
переменных (1,2.3), (4.1) и (1.5). Например, для переменной а будем иметь
a = 2Re (хг + х2) = 2Re [z/x + уг + 2 (afm + a?m) ycyml =
= 2Re [еиуг (0) + е1Хтг/2 (0) +
+ 2 (aL + afm)e(X^ Vl (0) ym (0)1,
ЗАДАЧА А. Ю. ИШЛИНСКОГО
177
откуда найдем
-у а = Re у 1 (0) cos т - Im у1 (0) sin т + Re у2 (0) cosXt -
- I m у2 (0) sin Х.т - ^ (afm + а?т) X
(, m=+i, if-2
X |[ReУ; (0) Im ут(0) + Re ут(0) Im yt (0)] cos -^-(X, + XJt +
+ [Re уi (0) Re ym (0) - Ira yt (0) Im ym (0)] sin (Xt + Xm) tJ .
(5.1)
Остается выразить константы у" (0) через начальные значения ао, Ро, То,
^о исходных переменных. Обращая (1,2.3), найдем
у" (0) =,xv (0) - Ъа)иХ] (0) xh (0) + [3] (v = + 1, =F 2),
и используя (4.2) и (1.5), получим
lh (°) = \ {"о + (- 1)" То + i sign v ро + (- 1)" Д0]} -
|ао + ( I)5' -ргТо + i-sign 7^ ртРо + (- I)5'До]} X
X |а0 + (- 1)л -рг То + г sign h } у- рв + (- l)h A°]} •
Отсюда будем иметь
Re г/v (0) = - J^Oo + (-l)v^To] +
+ TJ S -rai4sign/l[a°+(-1)iT'4[-^P0+(-1)hAo] + 3, +1" +2
+ sign / }a0 + (-l)h-p^y0]} ^rPo + (- 1)'До J, (5.2)
lm,yv(0) = ^[- Ap0 + (_ 1)" A0J -
1 V 1 V f
"¦и L -M
i, 'h=+l, +2
a0 + ( I)5'"ТГ To
[ao + ( l)h ~y~ "i*0] -
- sign(/fe)^p0 -(-1)J Д0 ^-po -(-l)hA0 } (v = =+= 1, =F 2).
Суммирование проведено всюду по значениям индексов ±1, ±2. Аналогично
(5.1) могут быть выписаны формулы для р, т и Д (и е; см. (1.2)). Заметим,
что Р и у имеют по сравнению с a и Д порядок V/N (величина, квадратом
которой пренебрегалось по сравнению с единицей),- результат, впрочем,
получаемый из линейного приближения.
Таким образом, формулы (5.1), (5.2) и (4.4) дают представление решения
системы (1.1) как почти-периодического (при иррациональном X) или
периодического (при рациональном X).
178
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И Й'ГО ПОРЯДКА
[ГЛ. УШ
2.6. Первоначальные суждения об устойчивости. До сих кор в
нормальных формах учитывались лишь члены до второй степени включительно,
а они в случае двух пар чисто мнимых корней, как следует из общей теории
и как видно из п. 2.5, не разрушают нейтральности приближения. Посмотрим,
что даст рассмотрение членов третьей степени. Вычислим коэффициенты g2,
hu h2 системы (1,2.10) по формулам (1,3.5):
gi - 3ft}]-! -(- 2 [2 (а^_1а1Д 4- 4- + a^di-i) 4~
4- а-1-1а11 4- "-11а11 4- "-1-2а11 4- а L2" I L I 1
о 1.2 I о го / 2 -1 I 2 1 I 2 -2 I
2 2 \ I
g2 = OO22-2 "Г ^ (&2-1а2-2 "Г ^21а2-2 ~Г ^2--2а2-2 "Г #22^2-2/ "Г
I 2 -1 , 2 1 - 2 -2 I 2 2 >
#-2-1^22 "1" ^-21^22 "Г #-2-2^22 #-22^22J >
hi = 6b12-2 + 2 (&i-jCt2_2 "Ь ^11^2-2 ~"Ь ^1-2^2-2 ~"Ь ^12^2-2 "I"
1_________i ^ ^ _2 ^ 2
4" Й2-1Н1_2 4" "21"1-2 4" "2-2О1-2 4" "22(r)1-2 4"
4- а-2-1а12 4- а-21а12 4- "-2-2И12 4" a-22a12)i
I гч.2 I о / 2 -1 I 2 1 I 2 -2 I 2 2
.
h> - bb2l_i 4- 2 ("2-1а1-1 4- а21а1-1 4" а2-2а1-1 4" а22а1-1 4-
I 2 -1 I 2 1 I 2 -2 I 2 2 I
4- "1-102-1 4- а11а2-1 4- "1-2а2-1 4- а12а2-1 4-
4- "-1-1а21 4- "-11а21 4- а-1-2а21 4- "-12a2l)'
Величины aim определены формулами (4.4); ацх суть коэффициенты
соответствующих квадратичных членов в уравнениях (4.3); Щьи - также
коэффициенты при соответствующих членах третьей степени, не выписанных в
уравнениях (4.3). Эти последние коэффициенты получим из системы (1.3),
используя преобразования
(4.1), (4.2) и (1.11). Подчеркнем, что при вычислениях уравнения (4.3)
должны быть приведены к виду (1,2.1), т. е. должно быть выполнено
(1,2.2). Будем иметь
-4-tfi-i =* + "к + ±(5-ЬК + 4 **).
1- Ь-2 =W"lF* + ir<21 + 13* + "**>•
^-Ъ\2_2 = -^- + ^-К + ±-(-И-5К + |4Я2),
4-'ь?1-1 = - -т - К + 1Г (-3 + ЪК + 4^2)'
g1 = ±-iK(i + 2K)(X-i), g2= О, hx = -\-iK (1 + 2K)(%- 1), h2 = 0.
§ 2] ЗАДАЧА А. Ю. ИШЛИНСКОГО 179
Поскольку величины gu g2 чисто мнимые, то критерий А. М. Молчанова (п.
1.4) отказывает. Заметим, что в этом случае в силу уравнений (1,4.1)
выражения
| уг |2 = сх и [ уг [2 = с2
являются первыми интегралами системы (1,2.10) и могут быть использованы
для построения функции Ляпунова системы (1,2.10).
Определитель J (см. формулу (1,5.2)) равен нулю. Поэтому критерий Ю. Н.
Бибикова - В. А. Плисса (п. 1.5) также отказывает.
2.7. Построение функции Ляпунова. Перейдя в системе (1.3) к независимому
переменному т по формуле (1.11), получим
= -2~(1 + В + -у- (1 - X,) Д 4~(1 - ^)ct2 +
Н-(1 - ^) + ~2~K^J А2 + -2_(1 + ВД ^ а2Д
+ 4-(1 - К) (i + 4-а) д3 + 4-(1 + *¦) (1 + 4- К) ва2,
-fa =---2~ (1 + а + - М в + ~2~ (1 + X) вг +
+ -L(1-X) ГД + -^(1 + Х)а"-4-(1- ^)УГ +
+ ±. (1 _ X) (l + S- а) ГД2 + -1. (i + х) вгд,
-^=-4-(1-^в-4-(1 + ^д + 4-(1 + ^а2- (7Л)
- ±- (1 + X) в* + 4- (1 + М КА* _ -А- (1 - X) ВД +
+ -L (1 + X) КА* + -L (1 - X) а2В - -L (1 - Ь) (l + 4- ^)ВД2 -
1"(1 + ^) в2д, ~ = - 4-С1 - Ма + 4-С1 + V Г!+ 4-(! - Я> *аД -
