Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 51

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 87 >> Следующая

О, 3, 0), Q, = (0, -1, 0, 3),
Q-г = (1, 0, -1, 2), Q2 = (0, 1, 2, -1).
Заключение. Если в уравнениях (2.4) ограничиться членами до третьей
степени включительно, то основная теорема А. Д. Брюно (п. V, 1.2)
приведет к следующим нормальным формам:
1 1
а) При отсутствии главных резонансов, т. е. при X ф у, у (общий случай)
dy ._ _____
-57 = hy* + + й.,?Л,г/з-М ум-з (V = + 1, 4-2). (2.10)
б) Для первого главного резонанса (я = в каждое из уравнений (2.10)
следует добавить справа по одному члену второй степени, соответственно
/-11/-2, hyl, /-2*/-1I/2, fzViy-Z- (2.11)
в) Для второго главного резонанса (х = yj в уравнении (2.10) следует
добавить справа по одному члену
СИСТЕМЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
163
третьей степени, соответственно
е^у\, еху%, е-ъу-iyl, егу1у\. (2.12)
1.3. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальных
форм. Нормализующее преобразование (2.3) переводит систему (2.1) в
нормальную форму (см. (2.10) - (2.12)). Представив последнюю в
симметризованном виде (V,3,1.3а), придем к основным тождествам (V,3,1.6).
Далее следуем альтернативе п. V,3.2.
I |
Допустим сначала, что?ь=? -*¦. Тогда kv Ф кг + кт (v, I, т =
I "
= ±1, ± 2) и для квадратичных коэффициентов нормализующего преобразования
справедлива формула (V,3,2.2)
ат = )ч + К (v,Z, т = + I, +2; кф-%) (ЗД)
без иных ограничений (к ?= ^0, yj , ^у , 1 .
При к = у имеем, что kv = kt -f кт тогда] и] только тогда,
когда v, I, т = -1, -2, -2; 1, 2, 2; - 2, (-1, 2}; 2, (1, -2}. Выберем
гг-1 п1 г""2 г"2
-2-2' 22' {-12}' {1-2}
любыми (предпочтительнее определенными по непрерывности из формулы (3.1)
при?ь-> у , если это возможно, или нулями). Для остальных aim справедлива
формула (3.1). Коэффициенты появляю-щихся при к = у квадратичных членов
(2.11) определятся по формулам (V,3,2.4)
/-1 = q>:U = h = <pja =
U = 2ф:?2 = 2 а:?2, и = 2ф?_2 = 2 а'_2.
Перейдем теперь к кубическим членам. Допустим сначала, что к Ф у. Выделим
значения v, I, тп, р, при которых kv = kt +
+ К + эт0 будут
v, 1,тп,р= v, (I, - I, v} (v, г = 1, 2), (3.3)
и положим
= 0- (v, l = zF1, =р2). (3.4)
6*
164
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
Для остальных значений v, Z, т, р справедлива формула (V,3,
2.3), т. е.
Р""Ч> = + ~Т ? К "(tm)Р + a},napl +
71 j=-M, -F2
+ aipa;m)] (3-5)
(v, Z, ш, p = +1.) ¦+• 2, Z, m, p (Z, Z, v}).
Поскольку вообще Z = v, (3 - | v |), то для коэффициентов
при членах третьей степени в (2.10), соответствующих выделенным
значениям индексов, будем иметь при % =4= у по формуле
(V,3,2.6)
gj = 3xvv-v = Зь::,_, 4-2 s 4- (3.6)
J--1-1, =F2
Zlv = 6Xv, 3-|v|, |v| -3 = 6Z?v, 3-|v|, |v| -3 4-4 ((r)vja3-|v|, |v|-3 4-
3=^1, T2
+ aHv|,3afvh3,v+aM-3.i<3-M)
^¦v = =F 1, +2;
ПриХ = yнадлежит воспользоваться формулами (V,3,2.5).
j
Остается рассмотреть случай в) п. 1.2: X = у. Дополнительно к (3.3) = Хг
4- Хт 4- Хр при
v, Z, т, р = -1, -2, -2, -2; 1, 2, 2, 2;
-2, {-1, 2, 2}; 2, {1, -2, -2}
и мы выберем
P-i-2-2! Р2221 Р; -шь P{i-2-2}
любыми (предпочтительнее определенными. по непрерывности из формулы (3.5)
приХ-" у, если это возможно, или нулями). Коэф-
фициенты появляющихся при X = у кубических членов (2.12) определятся по
формулам (V,3,2.6):
е_1 = Х-2-2-2 = Z>-2-2-2 4* 2 S a-2ja-2-2i
i==Fi, =F2
в\ = X222 - ^222 4* 2 2 a23,a22i (3-7)
i
e_2 = 3X-122 = 35-122 4" 2 2 (a-lja22 4* 2fflaj 0-12)5 e2 = ^Xl-2-2 =
3Z>i_2_2 4" 2 S 2-2 4" 2Я-2J 01-2)-
§ 1] СИСТЕМЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 165
При любом к ЕЕ (0, 1) вычисления начинаются с формул (3.6)
(а при А. - - с формул (3.7), и уж затем (3.6)) и заканчиваются
формулами (3.5).
1.4. Критерий А. М. Молчанова устойчивости колебаний. Известны
исследования Г. В. Каменкова [54], т. I и И. Г. Малкина [79в]
устойчивости в критическом случае двух пар чисто мнимых корней. Здесь
предпочтительнее воспользоваться критерием А. М. Молчанова [2986],
отражающим специфику нормальных форм и возникающих резонансов.
Будем теперь предполагать1), следуя п. 4.1, переменные попарно
комплексно-сопряженными:1
'x-j = X], y-j = у j (j = 1,2).
Рассмотрим'общий случай=j= у, у Умножая уравнения (2.10) соответственно
на yv и складывая их попарно, получаем
%i* = 2Re?1|y1|* + 2Refc1|y1Hya|a,
12 (4Л) "У-jM- = 2 Re ^2 I ?/1 |2 I 2/2 |2 + 2 Re #2 I Vi |4-
Для неустойчивости согласно определению, достаточно заметить одну
неустойчивую траекторию. Полагая у2 = 0, а затем Ух = 0, получим, что при
выполнении любого из неравенств
Re ух 0 либо Re у2 > 0 (4.2)
тривиальное решение системы (4.1) неустойчиво.
В этом пункте далее будем предполагать
Re ух < 0, Re у2 < 0, оставляя случай Re yt = Re у2 = 0 для следующего
пункта. Введем новые знакоопределенные (неотрицательные) переменные
Ух = -2 Re ух | ух |2, у2 = - 2 Re у2 | у2 |2
и запишем систему уравнений (4.1) в виде
= - Vi (Ух + ау2), ^ = - у2 (bvi + у2), (4.3)
где
Re Ух , Re У2
а - Re ~ Re gt
(напомним, что у1} у2, hu h2 определяются формулами (3.6)).
Критерий А. М. Молчанова [2986]. Неустойчивые системы (4.3) лежат ниже
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed