Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
2рл-периодическую с любым натуральным р. Поэтому решение (3.4) будет
порождающим для 2рп-периодического решения системы (2.4) тогда и только
тогда, когда
qT (X) = 2рп или Х=-^-, (3.5)
где q/p - любая положительная несократимая правильная дробь. Сведем
систему дифференциальных уравнений (3.3) для первых поправок к одному
уравнению относительно z\; учитывая (3.4), будем иметь
/7'2т1 г. 1
+ k2z\ = (1 + С2 + D*)-'I' [-^r Z, (О, z? (G), z% т +
+ Xz°2 0 (0, d, z\ (G), z\ - XZ2 (0, 0, zl (G), z° (#)) +
+ 2X2z?0(O,fl, Zl°(d), z°(fl)]. (3.6)
Вычислим правую часть этого неоднородного уравнения, обозначая штрихом
полную производную по •&:
Z\ + Xz20' - XZ2 + 2X2z?0 =
= -^-(2X2A: + 26X2 + 32X-3A: + l)z?siu# +
+ -^ (6X2A: + 6X2-9A:-9)z?sinЗft +
-4- (ЪкК - 15X - 16) zl cos ft + -jL X (1 + K) z°2 cos |3d +
4- _L (- 2k3K + 3X2 + 4kK - 4) zl sin 2# +
+ -i- X2 (kK - 2) zf sin 2# - -i- x2 (9X + 3K + 12) z\z\ +
+ \ (3k3 - bk2K - 4X + 4K) zlzl cos 2# -
- -i- (2k2K + 1) zf sin G + -i- X (6k2К + 6X2 - 4АГ - 5) x
X zj z2 cos ft + (2X2 + K) z\z\ sin ft -
--i-X(2X2tf+ 2X2-AT) zf cos ft. (3.7)
174
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4- ГО И 6-ГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VIII
Неоднородная часть уравнения (3.6) содержит тригонометрические функции с
круговыми частотами
й)?=±, б) -{р -¦ч) , В)>~3?|
р р р
тл pJtq Зр +4 3р -ч о 2 (р + я) 2? р + з?
' р ' р р р ' -р ' р
Выясним, когда одна из этих частот совпадает с круговой частотой q/p
порождающего решения:
а) р - я р Ч Р ' 9 = 1, Р= 2, к = 1 2
б) 2(Р- Ч) Р _ _Я_ Р ' q = 2, р = 3, к - 2 3
в) Р - Зд Р _ _я_ р ' 9=1, Р = 4, к = 1 4
3 Ч - р Р _ _я_ р ' 9 = 1, Р = 2, к = 1 2
В случае г) такое совпадение невозможно. В случаях а), б), в) уравнение
(3.6) допускает 2/ш-периодические решения при указанных q ж р яе для всех
значений С и D, а лишь для тех, при которых уничтожаются члены с sin
(qft/p) и cos (qft/р) в уравнении
(3.6). Однако уравнения для "порождающих амплитуд" при 112
к = у, у дают лишь нулевые решения: С =D - 0. Это означает,
что при этих значениях к не существует периодического решения. При всех
иных значениях к, определяемых формулой (3.5), существует периодическое
решение при любых значениях С и D.
112
Последнее означает, что вне резонансов к = -у, -у , - для всех
рациональных значений к ЕЕ (0, 1) периодическое решение является общим с
четырьмя произвольными постоянными С, D, ц и t0. В силу (2.1), (2.2),
(3.4) и (3.5) названное решение запишется в виде (см. также п. III, 1.2)
Е = -----cos д + О (ц2),
/1 + С2 + №
ri = - sin -f О (ц2),
1 /1 + с-i + т
? = ^ (С cos - d + D sin -lA + О (ц2), (3.8)
/1 + С2+Ц2 V Р Р )
у = ^------------ (- D cos - + С sin - -f О (ц2),
/1 +С2 + Ц2 \ р PJ
¦& = (jV -f со) (t - f0) -f О (ц); -у- - , -у, - .
| 2] ЗАДАЧА А. Ю, ИШЛИНСКОГО 175
Напомним, что переход к исходным переменным осуществляется по формулам
(1.9), (1.5) и (1.2).
Однако количественное описание движения предпочтительнее провести через
приведение уравнения движения к нормальной форме; к этому мы и переходим.
2.4. Преобразование уравнений движения к диагональному виду и
нормальной форме. Сделаем в системе (1.3) линейное
преобразование, определяемое матрицей (1.8) (выпишем ниже и
обрат-
ное преобразование):
а = х_г + хг + х_2 + х2 = 2Re (хг + х2),
В = i (- + хг - х_2 + х2) = -21т (хх + х2),
(4.1)
Г = -- хг + х_2 х2 = 2Re (х2 - хг),
А = i (-x"l + хх + - х2) = 21т (х2 - х^;
= V4 [а + (-1)*Г - Ш sign v + i (-1)VA sign v] (4.2)
(v = + 1, + 2).
Введя безразмерное время т (см. (1.11)), придем к системе уравнений вида
(1,1.6):
- i*x\ 1 з- (1 + К) х\ -\-g- (К 7) х\
g-(l + К) (2Х. i)x^.2 -1-g- (1 + К) (2% - 1)^2 +
~\----(3 + К) Х^1Х1 -\-^~(7? 1) (2 + X)x_iX_2
(1 К) (2 -К) Х-\Х2 -)-% (3 - К) Х\Х_2 -
- 4-Х(3 + А)./,./2; ; 4-(А' - 1)х"2х2\+ [3], (4.3)
Л-g- (1 Ч- К) (2 -)- %) xlx g- (1 + К) (2 X) хг
+ % (1 + К) xl2 + % (7 - К) х22 + К (1 - К) x.lXl +
-1-(1 - К) (2% + 1) x-xx~2 -\-(К - 3) 2_!.r2 -j--|-^"(7^ 1) (2Х - 1) ХхХ-2
-|-(3 ¦-{- К) Х\Х2 -
-• К (3 К) Х-2Х2 -J- [3].
Здесь не выписаны члены третьей степени, ибо не все они понадобятся в
дальнейшем, а также первое и третье уравнения, поскольку Z_i = *i, ?-2 =
Х2 (СМ. (4.2)).
176
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА ГЛ. VIII
Определим по формулам (1,3.2). Очевидно, что а _7_т = = Щт (v, Z, тп -
+1, -F 2) и из четверки величин alm, a '"mi, aZi_m, aZm^i (или пары
величины а", аТ; ) будем выписывать ниже только одну:
1
а-1-1 - а-2-2 - "о- I (^ -------- 7),
а11 - а-2-2 - а22 - а1-2 - а-1-1 - а11 - а22 - а-12 о~ ^ (1 ~Ь K)i
а-11 - а-1-2 - а-1-2 - а-22 - g~ I (3 + К), (4-4)
"ll, == "1^2 == -5- 3),
а12 - а-22 - а-11 - а12 - ^'
Эти же значения выбираем для ali-2и аы2 и при К = у . Формулы (1,3.3)
дадут нам
/-1 = /1 = /-2 =/2 = 0.
Последнее означает (см. конец п. 1.2), что приХ = у аннулируются
резонансные члены, и нормальная форма с точностью до членов второго
порядка включительно
dy^ 1 //
- = Ку, (4.5)
(Xt = = i, Х2 = Х_2 = Xi; v = + 1, + 2)
, 1
в рассматриваемой задаче справедлива и для л = у , т. е. для всех
