Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 59

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 87 >> Следующая

центров поперечного сечения вала, близкие к реально существующим, в то
время как линейное приближение может дать только эллиптические
траектории, которые в реальных системах встречаются редко. В уточненном
решении присутствуют высокочастотные слагаемые, это, в рамках принятой
модели, указывает на то, что напряжения в материале вала меняются с
частотой, превышающей частоту вращения. Следствием этого могут быть
усталостные поломки устойчиво работающих вертикальных гибких валов, о
которых говорилось в начале п. 3.1.
По этим уравнениям для модели с указанными параметрами были построены
траектории, описываемые точкой крепления массы на упругой связи. При этом
время, а следовательно, и период, определялись по низшей частоте,
(/ = 0,1,2.....96),
что соответствовало угловому шагу co0tj = 15°. Для сравнения на рис. 16
штриховой линией проведена круговая траектория радиуса г0 при
"возмущении" z_2 = 0.
§ 4. Системы шестого порядка
В этом параграфе исследуются резонансы и нормальные формы аналитических
автономных (не обязательно консервативных) систем шестого порядка с тремя
парами различных чисто мнимых собственных значений матрицы линейной
части. Завершается параграф исследованием устойчивости.
СИСТЕМЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
191
4.1. Решения резонансного уравнения. Рассмотрим названную выше систему в
предположении, что ее линейная часть приведена к диагональному виду (см.
п. 1.1)
= CljhXjXh -\- ^^bjhf;XjXhXk + . . . (1-1)
(v = +l,+2,+3).
Индексы суммирования всюду ниже принимают значения ±1, +2, ±3; k.v = kv,
не нарушая общности, положим
Х-J J, J, к-2 J-П , к% РР
Х-з = -ki, к3 - ki (i = Y -1> 0 < Х<р< 1); (1.2)
коэффициенты a]i" b]hu,- ¦ •, вообще говоря, комплексные и
симметризованные
cifij djh.1 b{jhk\ d. (v, y, hj Jc -pi, +2, -p3). (1.3)
По основной теореме А. Д. Брюно (п. V,1.2), существует об-
ратимая комплексная замена переменных (нормализующее преобразование)
Xj = уJ + 2а + Ъ^тпУЯтУп + • • • (1-4)
а - +i> -р2, +з)
- Орт" P{/mn} == Б d., у, Z, ТПЧ П == -р1" -р2, ^рЗ),
приводящая систему (1.1) к нормальной форме
~^- = Ку* + у* ^ g.qyY'yl'yYyVlY'yV (1.5)
(Л, Q)=0
(v = + 1> +2, +3),
где <7-! >. . ., <7з суть целые числа или нули, при этом <7V > - 1> а
остальные д;- неотрицательны, 1. В нормальную форму
входят только резонансные члены, показатели степеней которых
удовлетворяют резонансному уравнению (Л, Q) = 0, или, в развернутом виде,
qx - q-1 + р (q2 - q-2) + к (q3 - q_3) = 0. (1.6)
Рассмотрим возможность появления в (1.5) резонансных членов r-й степени,
для которых
Я-i + 4i + 7-i + Qi + 9-з + Яз = r - 1 (г > 2). (1.7)
192 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
Резонансное уравнение (1.6) при любых к, р из (1.2) и любом нечетном г 3
допускает тривиальное решение
Я-1 = ?1> Я~Ъ = Яг> Я-s = ?з- (1-8)
Далее рассмотрим три полутривиальных решения, когда в (1.6) одна из
скобок обращается в нуль:
(1.9)
к _ 9-2 - 92 .
9з - 9-з '
к = 9-г-9г .
9з - 9-з
р = 9-х - 9i
92 - 9-2
Х = (1Л0)
^ = (111)
Поскольку при обращении в (1.6) двух скобок в нуль, обращается в нуль и
третья, что соответствует тривиальному решению, то остается рассмотреть
нетривиальное решение, когда в (1.6) все скобки отличны от нуля:
9-5 - л I 9-2 - 92
K + L (1Л2)
9i - 9-i 9i - 9-i r '
Для квадратичных членов (г =2) тривиальное решение невозможно.
Полутривиальные решения возможны лишь для определенных значений к и р и
дадут нам для резонансных членов уравнений (1.5) соответственно
А- = -А: Q-i = Qi = О, Q_2 = (О, 0, - 1, 0, 2, 0),
Q2 = (О, О, О,- 1, 0, 2), Q_s = (О, О, 1, О,- 1, 1);
Q, = (О, О, О, 1, 1,-1);
к = -L: Q_x = (- 1, О, О, 0, 2, 0), = (0, -1,0, 0, 0, 2),
Q-2 = Q2 = О, Q-з = (1, О, О, О, -1, 1), Qs = (0,1, О, 0,1, -1); Р =-|~:
Q-1 = (-1> 0, 2, 0, 0, 0), Qi = (0, - 1, 0, 2, 0, 0),
Q-г = (1,0,-1,1, 0,0), Q2 = (0,1,1, -1,0,0), 0_3=Q3 = 0.
Для нетривиального решения будем иметь
к + р = 1: Q-! = (-1, 0, 1, 0, 1, 0), Qi = (0, -1, 0, 1, 0,
1),
Q-з = (1, 0, -1, 0, 0, 1), Q2 = (0, 1, 0, -1, 1, 0),
Q-з = (1, 0, 0, 1, -1, 0), Qs = (0, 1, 1, 0, 0, -1).
§ 4] СИСТЕМЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКА 193
Для членов третьей степени (г = 3) тривиальное решение (1.8) даст нам для
любых Я, и р из (1.2)
Qv = (1, 1, о, 0, 0, 0), Qv = (0, 0, 1, 1, 0, 0),
Qv = (0, 0, 0, 0, 1, 1) (v = +1, +2, +3).
Все остальные решения возможны лишь для определенных значений Я, и р из
(1.2). Выпишем их вместе с показателями степеней Qv по уравнениям (1.5).
Полутривиальные решения:
= Q 1 = Qi = о, Q-2 = (0,0, -1,0,3,0),
Q2 = (0, 0, 0, -1,0, 3), Q_3 = (0, 0, 1, 0, -1, 2),
Qs = (о, о, 0, 1, 2, -1);
Я = 4-: Q-1 = (- 1. О, 0, 0, 3, 0), Qi = (0, -1, 0, 0, 0, 3),
Q_2 = Q2 = О, Q_3 = (1, О, О, О, -1, 2), Q3 = (О, 1, О, 0, 2, -1); р=4~:
Q-i = (- 1, О, 3, О, О, 0), Q1 = (0, -1,0, 3,0,0),
Q-г = (1. О, -1, 2, О, 0), Q2 = (О, 1, 2, -1, 0, 0), Q-з = Q3 = 0.
Наконец, нетривиальные решения дадут нам
2Я, + р = 1: Q_! = (-1, О, 1, 0, 2, 0), Qi = (О, -1, О, 1, 0, 2), Q_2 =
(1, О, -1, О, 0, 2), Q2 = (О, 1, 0,-1, 2, 0),
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed