Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
следящей системы с ТИУ в данном режиме имеет вид, изображенный на рис.
14.
Данной схеме при zBX = 0 соответствует дифференциальное уравнение
где
z -f- 2 ai + ЬН = -cz8,
1 с , 1 к
^ ji а, (r) гр , С
(0<E<l,fc>0,r>0).
Замена независимого переменного т = bt приведет его к виду
z " -j- 2|z" -f- z' = - yz3 что можно представить как систему
/ 0 \ / Z
-7Г- = Аъ + dx '
-т>*,
d
dx
A =
kT
)¦
О 1 о
О 0 1
о _1 - 25
(4.1)
(4.2)
Собственные значения матрицы А суть
О, е*", е_1ф (ф = arccos (-|)).
Матрица S, приводящая матрицу А к диагональной форме, составлена из
собственных векторов матрицы А, Выпишем ее и
156 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
обратную ей матрицу
1 1 2? 1
(4.3)
1 1 1 1 2& 1
S. = 0 eiv g-icp , S-! = 0 д-1е-Мф - A-1e-i!p
0 е1г* e-2icp 0 - A_1e2i!p A-ie^
где А = det S = -2i|^l - |2. Замена
/ *0
z = Sx, х = I xi
\ х-1/
приведет систему (4.2) к диагональному виду ~ = diag (0, eiv, v~lv) х -р
S_1|
О
О ¦
(4.4)
(4.5)
¦ У (*о + xi + z-i)3 Используя (4.3), запишем (4.5) в развернутом виде =
- У (хо + xi + z_i)3,
-§jT = (- 5 + i /1 - 6я) У (4 - * yrzrgl) + Ж1+ ;г-1)3'
(4.6)
= (- I - i /1 - &*)*-!+ -fv (l + i у=г) (ж° + + ж-1)3'
Поскольку квадратичные члены в системе (4.6) отсутствуют, то и в
нормальной форме (1.2) они также будут отсутствовать и сама нормальная
форма (1.2) с точностью до кубичных членов включительно примет вид
*/о
dt
ёъУо + [4],
(4.7)
dx -(- S + i/l- I*) yi + glylyi + №], где gl и gl определяются формулами
(1.8)
gl=-y, = ^=4^)
и не выписано третье уравнение (4.7), поскольку у_х = ух (х_х = = Жх).
Перейдем к интегрированию укороченной нормальной формы. Из первого
уравнения (4.7) найдем
Уо = Уо (1 + 2уу?т)^ (у2 = у0 (0), у\ = ух (0)), (4.8)
I sin
§ 3] СЛУЧАЙ НУЛЕВОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ 157
затем из второго уравнения (4.7) получим У1 = yie~tx (1 + Яуг/Л'тучДсоз 1
- т + i sin yi - ?2т) х
х {"" [т 7Т=Г1,1 (' 4 2w"т)] ~
Т7тЬг1п<, + 2таГт)]}- <4'9)
Нормализующее преобразование (1,1.3) с точностью до кубичных членов
включительно имеет вид
х,, = у" -f- Рооо2/о + Pin?/i г Р-1-iri.V-i 4'i3Pooi!M/i + 3Poo-i2/o2/-i
4"
+ 3Pon2/o.Vi 4" SPo i-iJ/oJZ-i 4~ ЗР11-1У1У-1 4" SPi-i-i У1У-1 4"
+ 6Poi-i2/o?/i2/-i + [4] (v = 0, 4^ 1).
В силу (4.4) имеем х-г = Хи и мы вправе были выбрать выше у-г = yi, с
учетом этого нормализующее преобразование запишется в виде (см. также
(1.7))
%о - Уо 4" 2Re (Р111У1) 4- 6у0 Re (Peoi2/i) 4" бу0 Re (Pon?/i) 4~
4" 61 yi |2 Re (Р11-1У1) + 6Р01-1У012/1Р 4" [4],
(4.10)
xi = 2/1 4" Рооо2/о 4" Pin2/i 4" Р-1-1-1У-1 4" ЗРод-1Уо2/-1 4"
'3Pon2/o.7i 4"
4" У0У-1 4" ЗРц_11 У\ Р Уг 4" 3Pi-i_i | У112 У-1 4-
4" бРм-iJ/o 12/1Р 4" [4].
Коэффициенты здесь определяются формулами (1.9); при этом ЗНЙЧ6НИЯ birnn
берутся из (4.6), таким образом, получим
Pin = Р-1-1-1 -------3- Те~!ф> Pooi = Vе 1Ф.
Рои = - 4- Pi°i-i = - V + "НТ1,
PSi-1 = - У (е,:ф + е-^У\ Pioo J- tr*",
Pin = axe_2itp ' P-i-i-i = - -f{e^ ~ 3)-1' (4Л1)
Pio-i=--J-(e^-l)-1, Pin=l^,
Pt-!-! =---?- (e** - 2Г, Pi^! = (1 4- e*")-\
ft1 _ 7 01 _ V
P1-1-1 - 2д - P01-1 - -д- "
где, напомним,
у = kT, е** = -I 4- I5, Д = -2iV 1 - ?а-
158 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
Очевидно, что обращение формул (4,10) сведется к перемене знака у всех
слагаемых справа, начиная со второго. Это обращение понадобится для того,
чтобы выразить начальные значения у(r) и У1 через zJi и а:?, а в силу (4.3)
и (4.4) и через z0, z0, z0.
Из (4.4) и (4.3) будем иметь
z = х0 2Re хг. (4.12)
Этим и завершается решение задачи Коши в общем виде для уравнения (4.1) с
точностью до кубичных членов включительно. Оно представлено в виде
цепочки формул (4.12), (4.10), (4.9), (4.8).
Выделим главную часть решения согласно определению в конце п. 1.4.
Поскольку из (4.10) имеем
Ч = Уо + [3], = Я-i = ух + [3],
то из (4.12) будем иметь
z = Уо + 2Re ух + 13],
и в силу (4.8) и (4.9) получим главную часть решения
z " 1/2(1 + 2уу0°гт)-'1' + 2е-* (1 + 2уу*т)"1'2 (т),
где
Z (т) = cos [\f 1 _ т - 0 (x)]Re у? -
- sin [ )^1 - т - 0 (x)]Im yl
и через 0 (х) обозначено
0 W = -тут=?ln (1 + 2уу°х)'
Здесь в силу определения главной части решения и формул (4.3) и (4.4)
Уо з-о = 2|z0 Ч- z0,
= A^e-^z'o - Д_1е-*% =
т. е.
Re Hi ^ 2~
Im2/i ~ 2 - ^Z° +
Глава VIII
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ЧЕТВЕРТОГО И ШЕСТОГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ
НЕЙТРАЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
§ 1. Системы четвертого порядка
Первый пункт относится к системам произвольного порядка. В последующих
двух пунктах, основываясь на результатах гл. V, исследуются резонансы и
нормальные формы, возникающие для вещественных аналитических автономных
(вообще говоря, неконсервативных) систем четвертого порядка с двумя
парами различных чисто мнимых собственных значений матрицы линейной
части. Исследование устойчивости тривиального решения основывается на
использовании в п. 1.4 критерия А. М. Молчанова [2986], либо, если
последний оказывает, на применение критерия Ю. Н. Бибикова - В. А. Плисса
