Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
54
Глава 2
желании можно заменить В на H и использовать при этом в качестве единицы измерения эрстед вместо гаусса.
К написанным уравнениям нужно добавить также соотношение, определяющее температуру и, следовательно, давление. В ряде простых случаев можно использовать уравнение адиабаты, рассмотренное в гл. 1, § 4. Если благодаря столкновениям распределение скоростей почти изотропно, а потери энергии пренебрежимо малы, то у в уравнении (1.33) должно быть равным 5/з. В том случае, когда столкновения редки, а все величины зависят от двух координат, перпендикулярных В, следует в написанных выше уравнениях заменить р на р^, считая при этом температуру Tj пропорциональной В, как в соотношении
(1.35). При медленных изменениях плотности температура находится из уравнения, выражающего закон сохранения энергии, в котором учтены такие эффекты, как омические потери (джоулево тепло), излучение и поглощение электромагнитных волн и теплопроводность.
В уравнении (2.12) удержаны члены порядка /Пе/m,-. Они нужны, например, для получения правильных результатов при изучении низкочастотных волн в сильно разреженной плазме. В большинстве случаев, однако, этими членами можно пренебречь. Если, кроме того, положить равными нулю производные dj/dt и dv/dt, рассматривая столь медленные изменения, при которых влияние инерции исчезающе мало, то мы получим более простые уравнения
Здесь мы воспользовались уравнением (2.11) для исключения члена jXB в уравнении (2.12). Эти уравнения будут основными при изучении равновесных конфигураций плазмы в гл. 4.
Vp = JXB-pVcp,
E + v XB = ^j + -^-(Vp,-|-pV<p).
(2.20)
(2.21)
Макроскопические свойства плазмы 55
§ 3. Связь между макроскопической и микроскопической скоростями
Уравнения (2.20) и (2.21) определяют макроскопические величины j и V, если условия в плазме изменяются медленно. Чтобы найти j и v, умножим векторно эти уравнения на В. Тогда при Ti и <р, равных нулю, сразу получим
= (2.22)
v± = ?x(-E + ^V,,). (2.23)
Этим уравнениям должно удовлетворять любое ква-зистационарное решение. Интересно отметить, что роли двух основных уравнений поменялись: уравнение движения определяет теперь плотность тока, в то время как скорость находится из обобщенного закона Ома. Эта инверсия является важным свойством, характеризующим в квазистационарном случае помещенную в магнитное поле плазму.
Движение, описываемое уравнениями (2.22) и
(2.23), не согласуется с картиной дрейфа частиц, полученной при микроскопическом рассмотрении гл. 1, § 2. Лишь влияние электрического поля E остается одинаковым в этих двух случаях: макроскопические скорости, вызываемые полем Е, совпадают в уравнениях (1.9) и (2.23), а электрический ток не возникает вследствие равенства скоростей дрейфа электронов и ионов. С другой стороны, микроскопические дрейфы в неоднородных магнитных полях не отражены в макроскопических величинах v и j, а макроскопические скорости и токи, связанные с градиентами давлений, не имеют, очевидно, соответствующего аналога в дрейфовом движении отдельной заряженной частицы. Такая явная парадоксальность приводила ранее к некоторой путанице. Проанализируем здесь различие между двумя видами средней скорости.
56
Глава 2
Скорость дрейфа wB определяется как средняя скорость ведущих центров в элементе объема. Если рассматривать все частицы, вращающиеся вокруг этих ведущих центров, то фазы вращения различных частиц будут случайными, так что скорости вращения при усреднении исключатся. Поэтому средняя скорость таких частиц, которую можно обозначить v', будет равна Wd. Однако v' не совпадает с макроскопической скоростью V, определяемой как средняя скорость всех частиц, находящихся в единице объема независимо от того, где расположены их ведущие центры. Таким образом, чтобы получить v, мы должны подправить величину v', исключая из рассмотрения частицы, находящиеся вне элемента объема, хотя их ведущие центры и лежат внутри него, и, наоборот, учитывая частицы, которые в данный момент находятся в элементе объема, но имеют ведущие центры снаружи. Проведя такое уточнение, мы увидим, что вьЛисленная подобным образом величина v будет подчиняться уравнению (2.23). Такого рода анализ был проведен Шлютером [11] и Спитцером [12].
Вместо детального количественного анализа здесь будет дано более общее физическое толкование результатов на примере некоторых характерных случаев. Если существует градиент давления, то макроскопические уравнения определяют как плотность тока j, так и скорость v. С другой стороны, при условии однородности магнитного поля В скорость дрейфа Wd равна нулю. Действительно, из приведенного ниже уравнения (4.1) видно, что градиент давления возникает вместе с градиентом В, но скорость wB, обусловленная этим градиентом поля, становится пренебрежимо малой по сравнению с соответствующей макроскопической скоростью, найденной из уравнения (2.23), когда выполняется неравенство р •< В2/8я. Будем считать для простоты, что магнитное поле В однородно и Wd = 0.
На фиг. 4 показано, каким образом при наличии градиента давления могут возникать макроскопиче-
