Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для нерелятивистского идеального газа уравнение
(2.4) является точным. Однако этим уравнением удобно пользоваться лишь в тех случаях, когда характер распределения скоростей частиц таков, что допускает приближенное представление тензора напряжений в сравнительно простом виде. В общем случае тензор xF имеет девять компонент xVini9 где
48
Глава 2
индексы t и т соответствуют направлениям вдоль каждой из трех координатных осей. Поскольку Wtm=xVmh то число независимых компонент равно шести. В простейшем случае изотропного распределения скоростей Wi — V{ компоненты Yim обращаются в нуль при IФ т, а три диагональные компоненты xIf**, yPvy и 4F2z становятся равными друг другу и скалярному давлению р. В этом случае имеем
V-W = V/?. (2.7)
Можно привести два примера, когда соотношение (2.7) справедливо. Первый имеет место, если средняя длина свободного пробега частицы мала по сравнению с характерным расстоянием, на котором заметно изменяются р, V и другие макроскопические величины. Это условие является обычным в гидродинамике и осуществляется, например, в плазме звезд. Хорошо известно, что при достаточно малых длинах свободного пробега распределение скоростей близко к изотропному.
В несколько измененном виде уравнение (2.7) справедливо и в случае больших длин свободного пробега, если при этом выполняются два следующих условия: а) плазма помещена в достаточно сильное магнитное поле, так что ларморовский радиус вращения а любой частицы мал по сравнению с характерным расстоянием, на котором заметно изменяются все макроскопические величины; б) форма области, занятой плазмой, и ее изменения во времени таковы, что можно пренебрегать компонентами градиентов любых величин в направлении магнитных силовых линий. Как показали Ватсон [15], а также Чу, Гольдбергер и Jloy [3], условие «а» приводит к тому, что тензор Ч? становится диагональным, причем две его компоненты, перпендикулярные магнитному полю В, равны между собой. Обозначим их через ра компоненту, параллельную В, — через P11. Этот результат физически
очевиден в предельном случае бесконечных длин свободного пробега, так как при этом каждая частица
Макроскопические свойства плазмы
49
вращается вокруг своего ведущего центра с почти постоянной скоростью w± . Если на расстоянии порядка ларморовского радиуса распределение ведущих центров является почти однородным, то в каждом из двух направлений, перпендикулярных к В, дисперсия скоростей, обусловленная вращением частиц со скоростью w±, должна быть примерно равной W2J2.
В общем случае представление W с помощью лишь двух независимых компонент и /?1( оказывается недостаточным для решения макроскопических уравнений. Обе величины р± и р{1 даже в стационарном случае могут изменяться вдоль направления В. Если же условия переменны во времени, то характер изменения р, и /?(| найти не так просто, так как при этом вдоль силовых линий может существовать поток тепла. При редких столкновениях этот тепловой поток зависит от конкретных свойств функции распределения скоростей и не может быть найден непосредственно из макроскопических уравнений. Если вместе с условием «а» выполняется условие «б», то каждая из величин Pjl и /7и постоянна вдоль силовой линии, при этом поток тепла вдоль направления В отсутствует и зависимость р^ от В определяется известным адиабатическим законом для двумерного сжатия с показателем адиабаты у» равным 2 (см. гл. 1, § 4). Ввиду того что компонента градиента вдоль В, по предположению, близка к нулю, мы не будем учитывать градиента продольного давления P1,, и если столкновения несущественны, то становится применимым уравнение (2.7), в котором р заменено на Pjl. Условие «б» по существу эквивалентно предположению, что задача является двумерной (однородность вдоль направления В).
В произвольном случае у тензора напряжений могут быть недиагональные компоненты 'F*„, Yy2 и дающие опущенные в уравнении (2.7) вязкие напряжения. В пределе малых длин свободного пробега
50
Глава 2
предположение, что эти напряжения являются линейными функциями величин dvr/dxs, где г и s соответствуют координатным направлениям, приводит к обычному уравнению Навье — Стокса для вязкого газа. Влияние вязкости в противоположном предельном случае больших длин свободного пробега рассматривается кратко в § 5 настоящей главы и в гл. 5, § 5. Так как изучено довольно мало случаев, когда учет вязкости полностью ионизованного газа существен, мы пренебрежем этими недиагональными компонентами в получаемых здесь общих уравнениях плазмы.
Итак, примем уравнение (2.7) в качестве основного упрощения. Полученные таким образом макроскопические уравнения могут применяться с высокой точностью как в случае небольших длин свободного пробега, когда давление р почти изотропно, так и в случае сильного зависящего, по существу, от двух координат магнитного поля, когда р можно заменить на Pjl. До некоторой степени особый случай, в котором уравнение (2.7) также дает надежные результаты, рассматривается в гл. 3, § 2, в связи с распространением электростатических волн. В остальных случаях это уравнение может давать полезные указания о происходящем, но должно использоваться с осторожностью.
