Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 3. Движение частицы в магнитном поле CO сходящимися силовыми линиями.
Легко найти величину этой силы. Следуя Альф-вену, мы упростим расчет, полагая, что магнитное поле аксиально симметрично, а ведущий центр движется по оси г, являющейся осью симметрии. В более сложных случаях могут возникнуть другие дрейфы, но полученные здесь основные результаты не изменятся. В цилиндрических координатах г, 0, г магнитное поле не зависит от 0; условие
V-B = O (1.21)
дает
±-§-(гВг)+ = 0. (1.22)
Если предположить, что производная дВ2/дг постоянна в поперечном сечении траектории частицы и равна дВ/дг, то можно проинтегрировать уравнение (1.22) по г и получить
= 0-23)
Полагая, что г равно ларморовскому радиусу а, про-
Движение заряженной частицы
35
ектируя уравнение (1.1) на ось г и используя соотношение (1.17), находим
dw и
mST = - PV||?, (1-24)
где символ Vii означает составляющую градиента в направлении В. Уравнение (1.24) является точно таким уравгіением, которое можно было ожидать для диамагнитной частицы.
Используя формулу (1.24) и закон сохранения кинетической энергии ll2tn(W2^-]-W^t можно определить изменение ц в пространстве. Умножая уравнение (1.24) на wи, получаем
4-(twwi J = -PlT' (1-25)
где dldt представляет собой производную по времени вдоль траектории частицы. Из закона сохранения энергии и соотношения (1.17) вытекает, что
4t[kmwi)=—it{\ mw^=—ж <«**)• (1-26)
Из формул (1.25) и (1.26) снова следует, что ц является интегралом движения, причем этот вывод теперь справедлив и для частиц с релятивистскими энергиями. Как и прежде, полученный результат является приближенным и неприменим, когда В сильно меняется на расстоянии порядка ларморовского радиуса. Если производная В по координатам пропорциональна кВ, то, как вытекает из исследования Kpy-скала [6], магнитный момент ц постоянен с точностью до членов любого порядка по ах. Этот результат опять-таки справедлив только в том случае, если определение |А видоизменить, включив члены более высоких порядков по ах.
Изменение ц, очевидно, оказывается малым всякий раз, как только E и В меняются достаточно медленно в пространстве и времени. Когда магнитный
35
Глава I
момент |л можно считать постоянным, исследование движения частицы в магнитном поле значительно упрощается, поскольку в этом случае нужно принимать во внимание лишь перемещение ведущего центра. Если у двух частиц совпадают ведущие центры, кинетическая энергия и магнитный момент, то ведущие центры движутся по одинаковым траекториям, не зависящим от фаз частиц, вращающихся вокруг своих ведущих центров. Этот полезный результат справедлив с той же степенью точности, что и утверждение о сохранении магнитного момента.
Другим важным следствием инвариантности |л является отражение вращающихся частиц от областей усиливающейся напряженности магнитного поля. Если 0 — угол между вектором скорости и ОСЬЮ Zy то отношение составляющей w± к полной скорости равно sin0. Пусть 0о — начальная величина угла 0 в точке, где В = ZJ0. Тогда неизменность магнитного момента mw2J2B означает, что с ростом поля увеличивается пропорционально Bi так что, очевидно,
Sin2 0 = — sin2 60. (1.27)
Когда отношение BJB0 возрастает до величины І/sin2 0о, вся кинетическая энергия частицы переходит в поперечную кинетическую энергию, компонента до и обращается в нуль, и частица отражается в область меньшей напряженности поля. Обратно, если Bm означает максимальную величину магнитного поля, то отразятся все частицы, для которых sin20o превосходит B0/Bm. Такую отражающую область можно назвать магнитным зеркалом. Удержание заряженных частиц между магнитными зеркалами наблюдается в лабораторных установках и в геомагнитном поле, где захваченные ионы образуют над атмосферой радиационные пояса.
Предполагая, что частицы перед зеркалом имеют изотропное распределение по скоростям, можно легко рассчитать коэффициент отражения R, определяемый
Движение заряженной частицы
37
как отношение числа отраженных частиц к числу частиц, падающих на зеркало в единицу времени. Рассмотрим частицы с некоторой заданной полной начальной скоростью w. Число частиц, достигающих зеркала за 1 сек в интервале телесного угла dQ, пропорционально cos Q0dQ. Отсюда
*/2
*/2
R= J cos Q0 dQ J cos O0dQ, (1.28)
в»= О
где Sin2O1 равен B0IBm. Поскольку dQ равно 2я sin OorfOo, получаем
R = I-JTl- (1.29)
в...
Так как величина R не зависит от выбранной начальной скорости, коэффициент отражения остается тем же самым при произвольном распределении по скоростям, если только оно изотропно.
Для захваченной частицы, колеблющейся между двумя магнитными зеркалами, параллельная магнитному полю составляющая скорости обусловливает появление продольного адиабатического инварианта. Если ds — элемент длины вдоль магнитного поля, то этот инвариант представляет собой интеграл от о>ц ds, взятый за период колебания между зеркалами. Как мы увидим в следующем параграфе, при медленном изменении расстояния между зеркалами этот инвариант остается постоянным. Кроме того, он не меняется и при медленном дрейфе орбиты частицы по направлению к другим силовым линиям, имеющим иные расстояния L между точками отражения. Если этот продольный адиабатический инвариант представить в виде асимптотического ряда по восходящим степеням dL/dt, то, как установили Гарднер [4] и Крускал [6], его постоянство сохраняется при учете членов любого порядка- совершенно так же, как в случае магнитного момента.
