Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
11.6. Квантование в магнитном поле
Важным применением метода эффективной массы является квантовомеханический
анализ движения электронов или дырок в магнитном поле. Магнитное поле
можно рассматривать как медленно меняющееся возмущение, наложенное на
периодическое поле кристалла, что является благоприятной ситуацией для
применения метода эффективной массы. Возникает, однако, некоторая
трудность, связанная с тем, что мы не можем представить магнитное поле
скалярным потенциалом,- здесь необходима векторная функция. Но, поскольку
хорошо известно, каким образом следует видоизменить волновое уравнение
Шредингера, чтобы учесть магнитное поле,
И. Зонная структура и метод эффективной массы
421
кажется разумным изменить волновое уравнение для случая эффективной массы
таким же образом.
Как мы уже видели условием квантования в магнитном поле является
требование достаточно сильного поля, при котором обеспечивается
выполнение условия ост> 1, где сос, как и ранее, циклотронная частота, а
т - среднее время свободного пробега. Эго условие можно выразить также,
как 5р>-1, где В - магнитная индукция, ар - подвижность.
Волновое уравнение для свободного электрона в магнитном поле получается
простой заменой оператора импульса р=-ihv оператором р-еА, где А -
вектор-потенциал для магнитного поля B=vx А. Для электрона со скалярной
эффективной массой ше уравнение для модулирующей функции F(г), как
следует ожидать, будет иметь вид
^(iA? + eA)2F(r) = FF(r). (11.18)
Эта эквивалентность, которую мы использовали интуитивно, может быть
обоснована, как показал Кон [351, и формальным образом. Более общее
уравнение, заменяющее уравнение (11.12), должно было бы иметь вид
- l'V-x)f(r) = ?F (г), (11.1S)
и, как показал Кон [35], обосновать его более трудно. Для эллипсоидальных
поверхностен равной энергии должно выполняться равенство
h {ih?r+ eA')'FМ = EF <' 1.20)
Если магнитное поле направлено по оси г, то вектор-потенциал А может быть
выражен как (0, Вх, 0), и уравнение (11.18) приводится к виду
т. е. к уравнению, которое было решено Ландау [36] при рассмотрении
квантовой теории движения свободных электронов в магнитном поле. Решение
этого уравнения и его применение к полупроводникам мы обсудим в разд.
12.5.
ЛИТЕРАТУРА
1. Smith R. A-, The Wave Mechanics of Crystalline Solids, Chapman and
Hail, 1969.
2. Ziman J. .М., Solid State Physics, Academic Press, 26, 1971, p. 1.
[Имеется перевод: Займан Дж. Вычисление блоховских функций.- М.: Мир,
1973.1
3. Wannier О., Phys. Rev., 52, 191 (1937).
Е(
422
11. Зонная структура и метод эффективной массы
4. Wigner Е., Seitz F., Phys. Rev., 43, 804 (1933).
5. Sluter J. С., Handb. Phys., 19, 1 (1956).
6. Bell Doroty G., Hum D. М., Pincherle L., Sdama D. W., Woodward P. М.,
Proc. Roy. Soc., A217, 71 (1953).
7. Slater J. C., Phys. Rev., 92, 603 (1953).
8. Slater J, C., Quantum Theory of Molecules and Solids, McGraw-Hill,
1965, vol. 2.
9. Dimmock J. 0., Solid State Physics, Academic Press, 26, 1971, p. 104.
10. Loucks T. L., The Augmented Plane Wave Method, Benjamin, 1967,
11. Herring C., Phys. Rev., 57, 1169 (1940).
12. Woodruffe Т. 0.. Solid State Physics, Academic Press, 4, 1957, p.
367.
13. Collins Т. C., EuwemaR. N.. Stukel D. J., Optical Properties of
Solids, ed. Haidemenakis E. D., Gordon and Breach,- 1970, p. 81.
14. Phillips J. C., Klelnman L., Phys. Rev., 116, 287 (1959).
15. Cohen М. H., Heine V., Phys. Rev., 122, 182 (1961).
16. Phillips J. C., Solid State Physics, Academic Press, 18, 1966, p. 55.
17. Phillips J. C., Bonds and Bands in Semiconductors, Academic Press,
1973.
18. Heine V., Solid State Physics, Academic Press, 24, 1970, p. 1.
19. Cohen M. L., Heine V., Solid State Physics, Academic Press, 24, 1970,
p. 38.
20. Kane E. O., Journ. Pljys. Chem. Solids, 1, 245 (1956); 8, 38 (1959);
Semiconductors and Semimetals, Academic Press, 1, 1966, p. 75.
21. McLean T. P., Rendiconti della Scuola Internazionale di Fisica Enrico
Fermi, Corso XXII, Academic Press, 1963, p. 483.
22. Cardona М., Poliak F. H., Phys. Rev., 142, 530 (1966).
23. Callaway J., Solid State Physics, Academic Press, 7, 1958, p.
100.
24. Herman F., Electronic Structure in Solids, ed. Haidemenakis E. D.,
Plenum Press, 1969, p. 41.
25. Pincherle L., Rendiconti della Scuola Internazionale di
Fisica Enrico Fermi,
Corso XXII, Academic Press, 1963, p. 1.
26. Pincherle L., Electronic Energy Bands in Solids, Macdonald, 1971,
27. TCohn W., Solid State Physics, Academic Press, 5, 1957, p. 257.
28. Mendelson K-, Schultz D. R., Phys. Stat. Sol., 31, 59 (1969).
29. McLean T. P., Rendiconti della Scuola Internazionale de Fisica Enrico
Fermi, Corso XXII, Academic Press, 1963, p. 479.
30. Stoneham A. М., Theory of Defects in Solids, Clarendon Press, 1975.
[Имеется перевод: Стоунхэм А. Теория дефектов в твердых телах. В 2-х т.-
М.: Мир, 1978.]
31. Stoneham А. М., Harker А. Н., Journ. Phys., С8, 1102, 1109 (1975).
32. Milnes A. G., Deep Impurities in Semiconductors, Wiley, 1973.
