Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
поэтому здесь'были развиты различные приближенные методы. Если и (г') -*
волновая функция, где г'- вектор с началом в центре ячейки, то волновая
функция в /-й ячейке запишется в виде, который имеет требуемую блоховскую
форму:
Ф (г) - и (г Ry) ехр (ik • г). (11.3)
Метод ячеек, первоначально предложенный Вигнером и Зейтцем [4] для
моноатомных кристаллов, был существенно развит Слэте-ром [5] и его
сотрудниками. Этот метод, правда, в сильной степени видоизмененный, Белл
и др. [6] с известным успехом применили и для расчета двухатомных
кристаллов, таких, как РЬТе.
414
TI. Зонная структура и метод эффективной массы
11.3.2. ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ АТОМНЫХ ОРБИТАЛЕЙ (ЛКАО)
Метод ЛКАО является развитием приближения сильной связи, в котором учтено
влияние целого ряда атомных волновых функций, а не только одной, как в
выражении (11.3). Соответствующая волновая функция имеет вид
ф(г) = (г- R/) ехр (tk- Ry). (11.4)
5
Коэффициейты as находят вариационным методом, минимизируя энергию,
значения которой являются корнями так называемого "секулярного"
детерминанта.
11.3.3. МЕТОДЫ ПЛОСКИХ ВОЛН
Так как бдюховские функции обладают периодичностью решетки, их можно
представить как ряды Фурье (см. [1], §4.8), используя векторы обратной
решетки Ь". Тогда волновая функция (11.1) может быть записана в виде
суммы плоских волн:
ф (г) = 2 л " ехр [i (к + 2 л Ь") ¦ г]. (11.5)
П
Чтобы найти точное решение, потребовалось бы бесконечное число таких
плоских волн, но приближенное решение можно получить, используя конечное
число (s) волн. Основная трудность, возникающая при использовании этого
метода, заключается в том, что для сходимости волновой функции в области
ее быстрого изменения, т. е. вблизи атомного остова, число этих волн
должно быть довольно большим.
Были предложены два способа преодоления этой трудности и соответственно
два метода расчета, которые теперь наиболее часто используются для
вычисления зонной структуры. Первый из них, метод присоединенных плоских
волн (ППВ), использует метод ячеек Вигнера - Зейтца внутри сферы радиуса
R, которая чуть меньше элементарной ячейки, и плоские волны за пределами
этой области со сшиванием волновых функций на границе сферы. Поскольку
метод ячеек позволяет вычислить быстро изменяющуюся волновую функцию
вблизи атомного остова, то для обеспечения сходимости нужно лишь
небольшое число плоских волн (см. [1], §6.9). Этот метод был предложен
Слэтером [7, 8], который в дальнейшем вместе со своими сотрудниками
развил его и расширил. Он успешно использовался для расчетов зонной
структуры, однако главным образом применительно к металлам. Сравнительно
недавно Диммок [9] сделал обзор работ, а Лоукс [10] опубликовал
монографию, посвященную этому методу расчета.
11. Зонная структура и метод эффективной массы
415
Второй метод, метод ортогонализованных плоских волн (ОПВ), был впервые
предложен Херрингом [11], но в дальнейшем был развит большим числом
других авторов. Волновые функции в виде плоских волн, которые
используются для описания валентных электронов, вообще говоря, не
ортогональны более сильно локализованным волновым функциям электронов
атомного остова. Метод ОПВ заключается в том, что к плоским волнам
добавляется линейная комбинация атомных волновых функций, чтобы сделать
их ортогональными (см. [1], §6.10). Таким способом снова достигается
быстрая сходимость с малым числом плоских волн. Этот метод был успешно
использован для вычисления зонной структуры ряда полупроводников.
Развитие этого метода и его применение обсуждал Вудруф [12]. Обзор более
новых работ дали Коллинз, Ювема и Сту-кель [13].
11.3.4. ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛ
Метод расчета зонной структуры, который первоначально предложили Филлипс
и Клейнман [14] и в дальнейшем развили Коэн и Хейне [15], по существу
является следствием метода ОПВ. Используя ортогонализованные плоские
волны, можно видоизменить (см. [1], § 6.11) потенциал кристалла так,
чтобы эффективным образом устранить его быстро меняющуюся часть вблизи
атомного остова. Выражение в виде ряда Фурье в этом случае требует лишь
небольшого числа значений вектора обратной решетки Ьп, а коэффициенты
Фурье можно легко вычислить. Они подбираются таким образом, чтобы
получаемые величины энергии совпадали со значениями, известными из опыта.
Этот метод наиболее часто используется для определения полной зонной
структуры в тех случаях, когда известно несколько значений энергии.
Установлено, что этим методом можно рассчитать зонную структуру
моноатомных полупроводников, подобных Si и Ge, используя всего лишь три
параметра. Более важным (поскольку двухатомных полупроводников существует
значительно большее количество) является то, что для материалов, подобных
GaAs, использование всего шести параметров дает по существу те же
результаты, что и расчет методом ОПВ. По-видимому, достаточно хорошие
результаты можно получить таким образом и для других сложных
полупроводников, не производя полного ОПВ-расчета х).
