Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
тока уже не будет пропорциональна величине поля. Подвижность тогда
следует рассматривать как функцию электрического поля. Если плотность
тока / не пропорциональна электрическому полю закон Ома нарушается. Такие
отклонения от закона Ома, как мы видели, характерны для полупроводников,
но обычно они обусловлены поверхностными эффектами или неоднородностями,
например различного рода контактами или переходами. Эффект, о котором
идет речь сейчас, является объемным эффектом и может иметь место в
совершенно однородном полупроводнике.
Шокли [2] показал, что такого рода отклонения от закона Ома намного легче
получить в полупроводниках, чем в металлах. В полупроводниках изменение
средней энергии на величину порядка кД'/ю) эВ при комнатной температуре)
будет означать большое изменение средней энергии, которая в равновесном
случае составляет 3/. к Г, в то время как в металлах такое изменение
будет трудно заметить, поскольку здесь средняя энергия электронов
составляет несколько электрон-вольт.
Теперь мы должны более детально проанализировать изменение энергии
электронов, обусловленное электрическим полем и рассеянием. Ограничимся
на время только решеточным рассеянием, поскольку рассеяние на примесях
является в сильной степени упругим процессом и в этой связи оказывается
важным только при очень низких температурах. Прирост энергии 6? при
рассеянии с испусканием или поглощением фонона приближенно дается
выражением (8.18). Для наших целей, однако, это выражение оказывается
недостаточно точным, и мы должны получить выражения для случаев
испускания и поглощения фононов с учетом членов с (u/v) во второй
степени, где и - скорость звука в кристалле, a v- скорость электрона
перед рассеянием. Пусть Ер - энергия испущенного или поглощенного фонона.
Тогда вычисленная величина угла, на который рассеивается электрон,
оказывается одинаковой для процессов с испусканием и поглощением фонона,
если учитываются лишь члены, содержащие (u/v) в первой степени. Пусть 0'-
угол рассеяния в случае поглощения фонона, а 0 - угол рассеяния в случае
испускания. Тогда из соотношений (8.9) и (8.17), пренебрегая членами,
содержащими (u/v) в степени выше второй, можно получить .
?p=2/*eI>*^)siny0' [^(^sinyQ'] (12.1)
и
?р = 2mev* (|) sin 10 [ 1 - (f) sin 10] . (12.2)
426
12. Влияние сильных электрических и магнитных полей
Формулы (12.1) и (12.2) представляют собой лучшее приближение для
ЬЕ(=ЕР), чем выражениё (8.18).
Чтобы оценить среднюю величину прироста энергии при рассеянии, нам нужно
знать относительные вероятности рассеяния с испусканием и поглощением
фонона. Соотношение этих вероятностей, равное (Wp-f l)/Np, где
является хорошо известным результатом1) квантовой теории. Нормируя
вероятности ре, рл для испускания и поглощения так, чтобы их сумма
равнялась единице, для случая ?р<5скГ имеем
Вклад в потери энергии, обусловленные излучением фонона при рассеянии
электрона на угол 0 в телесном угле da, равен
Чтобы получить подобное выражениё для рассеяния на угол 0 с поглощением,
мы должны сначала ввести поправку, связанную с изменением угла, т. е.
должны заменить Ер на Ер sin (V2 0)/sin (V2 0') и da на
sin0d0d(o/sin0'd0'.
Средняя величина прироста энергии бЕ (0) тогда дается выражением
Подставляя эти выражения в формулу (12.7), а также заменяя Ер его
.выражением через 0 и пренебрегая членами со степенями (u/v)
NV ехр (?р/кГ) - 1 *
(12.3)
(12.4)
(12.5)
(12.6)
" ?р \ sin1/. 0 sin 0 dQ n
+ p ( 2кг") sinVzO' sin 0' d0'J * (12,7)
Из формул (12.1), (12.2) легко видеть, что
siny0' = sin-i-0 [l - 2^)sin-i0] , (12.8)
так что
sin-i 0'sin0' dQ' = sin-^-0sin0d0 1 -8 siny0j . (12.9)
J) Он получается точно таким же способом, как и хорошо известный
результат для фотонов, который выведен в разд. 14.6,
12. Влияние сильных электрических и магнитных полей
427
выше второй, имеем
ЬЁ(0) do> = 8meus (1.-Щ sin210 (?) . (12.10)
Усредняя по всем углам, получаем формулу для средней величины прироста
энергии при рассеянии
6?=4тем2(1-2^) , (12.Ц)
где ?=1/г^1еу2 - кинетическая энергия электрона перед рассеянием.
Отметим, что если Е > 2к7\ то электрон будет в среднем терять энергию.
Предположим теперь, что электроны имеют максвелловское распределение
скоростей, соответствующее температуре Те, так что их число N (v)dv со
скоростями в интервале от v до (v+dv) дается формулой
N(v)dv = А ехр v*dv, (12.12)
где постоянная А является нормирующим множителем. При Те - - Т это
соответствует равновесному распределению в отсутствие вырождения. Формулу
(12.11) теперь можно использовать для усреднения прироста энергии бЕ по
всем значениям скоростей v. Величиной, представляющей наибольший интерес,
является, однако, скорость прироста энергии электронов в результате
соударений. Для электрона, имеющего скорость v, средняя частота
столкновений равна T~l=vll, где / - средняя длина свободного пробега,
обусловленная рассеянием на колебаниях решетки. Средняя скорость
изменения энергии одного электрона равна vbE/l, а для всех электронов
