Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
Обширный обзор, посвященный развитию этого метода, сделал Хейне [18], а
его применение для определения зонной структуры ряда полупроводников
способом подгонки к экспериментальным данным обсудили Коэн и Хейне [191.
х) См., например, [16, 17].
416
11. Зонная структура и метод эффективной массы
11.3.5. к-р-МЕТОД
Мы упомянем еще лишь об одном методе, который используется для оценки
зонной структуры, о так называемом к-p-методе. В нем используется
дифференциальное уравнение для величин i/ft(r)> а не для полных
блоховских функций (11.1). Считая значение волнового вектора к малой
величиной, это уравнение можно решить методами теории возмущения и
получить приближенные решения для области значений к вблизи к=0. Этот
способ можно применить и для области к вблизи какой-либо иной критической
точки k=km. Энергия выражается в виде (см. [1], §6.13)
Еп(к) = Епа + ^- + Щ ? (11.6)
0 т<>тфп n0 т0
где Еп0 и Ета - энергии на краях зон, а ртл - матричный
элемент импульса для к=0, который можно получить методом
ячеек.
Члены суммы дают большой вклад только при Ета ~Еп0. Этот метод наиболее
полезен, если энергетический зазор между двумя зонами мал, когда нужно
использовать лишь один член суммы. При соответствующем выборе
координатных осей в этом случае можно записать
= (П-7)
,= 1Я'
где для верхней зоны
1 1 , 2 1Р1Я
а для нижней зоны
1 1 21 тГ т0 /По (?j-?о)
(11.8)
(11.8а)
Если |рГ21 одно и то же для всех значений г, то можно видеть, что верхняя
зона имеет минимум при к=0, а нижняя зона максимум, если 2|piS|2>m0(?i-Е
2).
Кейн [20] использовал этот метод для анализа зонной структуры Si и Ge
вблизи к=0, а также и для ряда соединений типа А1ПВУ. Подробное
рассмотрение этого метода дал Мак-Лин [21].
Как и метод псевдопотенциала, к-p-метод приводит к интерполяционной схеме
вычислений, и в таком виде его широко использовали Кардона и Поллак [22].
Если энергетический зазор ДЕ мал, выражение для Е в форме
П. Зонная структура и метод аффективной массы
417
(11.7) применимо только для очень малых значений к. Кейн 120) использовал
к-p-метод, чтобы получить выражение для отклонения формы зоны от
параболичности в виде
<'|9>
Для малых значений к это выражение сводится к формулам (11.8) и (11.8а).
Формула (11.9) может быть также выражена через эффективную массу для зоны
проводимости
1 . " . fck- , 1 . _ Г, . 2h4°- ( 1 1
? = -4-Д?
2 ~ 2т0 1 2
Если те<фп", выражение можно упростить
Е - У4?+Т4?(1+ё)'''- О1-96"
Формула (11.96) показывает отклонение формы зоны проводимости от
параболичности.
11.4. Вычисления зонной структуры
Как указывалось выше, к настоящему времени различными методами выполнено
большое число расчетов для многих полупроводников. Имеется несколько
обстоятельных обзоров этих работ, которые содержат многочисленную
библиографию. Обзоры Каллауэя [23], Коэна и Хейне [19] и Хермана [24]
достаточно полно охватывают работы по полупроводникам. В настоящее время
трудно сказать, какой из методов вычисления наиболее эффективен. Метод
ППВ использовался главным образом для металлов, а метод ОПВ, по-видимому,
предпочтительнее для полупроводников. Как указывал Херман [24], метод
псевдопотенциала очень удобен для построения полной зонной структуры,
когда вычисления "из первых принципов" уже дали значения энергии для
некоторого числа критических точек в зоне Бриллюэна.
Пинчерл [25] показал, что, хотя численные значения различных энергий,
характеризующих структуру зон, зависят от потенциалов атомных остовов,
общая форма зон может быть получена из анализа свойств симметрии
материала методами теории групп. Он провел также критическое сравнение
различных методов и дал очень ясное и четкое описание их специальных
областей применений [26]. Филлипс 117] обсудил относительные достоинства
различных методов, а также их сходство с теорией межатомных связей.
418__________11. Зонная структура и метод эффективной массы
11.5. Метод эффективной массы
Определяя зонную структуру полупроводника вблизи экстремума (обычно у дна
зоны проводимости и потолка валентной зоны), мы можем получать элементы
тензора обратной эффективной массы. Здесь мы прежде всего предположим,
что эти элементы являются постоянными величинами. Это означает, что
зависимость ?(к) является квадратичной функцией компонент вектора к.
Рассмотрим теперь, каким образом методами квантовой механики можно
описать движение частиц с таким тензором обратной эффективной массы и при
каких условиях это оправдано. По-видимому, первым этот вопрос обсудил
Ванье [3], используя функции, которые называются теперь его именем и
которые мы обсуждали выше (разд. 11.2). Запишем блоховские волновые
функции, как и ранее, в виде
'Mr) = ^nft(r)exp(ik-r). (11.10)
Здесь индекс п относится к п-й энергетической зоне. Соответствующие
функции Ванье тогда определяются так же, как в разд. 11.2. Можно показать
в таком случае, что при наличии в кристалле некоторого дополнительного
потенциала У(г) волновая функция может быть выражена в достаточно общем
