Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
виде (см. [1], § 11.2.3):
'Mr)=2^n(R/K(r-R/)> (ii.il)
л/
где величины ?n(R,) находятся из ряда алгебраических разностных
уравнений, которые включают в себя матричные элементы потенциала с
функциями Ванье. В случае когда можно ограничить суммирование по п всего
одной зоной (обычно h2k2/m0<^.AE), мы можем при определенных условиях
(здесь оказывается существенным, чтобы потенциал У(г) не изменялся
заметно на длине постоянной решетки, т. е. чтобы он был медленно
меняющимся) заменить эти разностные уравнения дифференциальным уравнением
для функции F\r). Это дифференциальное уравнение имеет неожиданно простой
вид. Пусть ?(к) - известная функция энергии; тогда имеем
?(-tV)?(r) + y(r)?(r) = ??(r), (11.12)
где ? - энергия стационарного состояния, описываемого волновой функцией
ф = Л{/0 (г)?(г). (11.13)
Здесь А - нормирующий множитель, a Ua(г) - периодическая часть блоховской
функции для k=0. Мы видим, таким образом, что ?(г) играет роль медленно
меняющейся модулирующей функции, а изменения в пределах каждой ячейки
кристалла описываются функцией Uо(г).
11. Зонная структура и метод аффективной массы
419
Если имеем скалярную эффективную массу mt, так что Е (k)- =fak2/2те, то
^(г) удовлетворяет уравнению
V^(r) + ^[E-V(r)] = 0, (11.14)
которое является уравнением Шредингера для частицы с эффективной массой
/ле.
В более общем случае, когда обратная эффективная масса 1 Imrs является
тензором, функция Е(г) удовлетворяет уравнению
?^5^+!l?-v<r>IF=°- (1115)
rs
Это уравнение можно рассматривать как уравнение Шредингера для
классической частицы, гамильтониан которой имеет вид
rs
Уравнение (11.14) дает обоснование предыдущим вычислениям энергии
водородоподобного примесного центра. Уравнение (11.15) является его
модификацией для случая эллипсоидальных поверхностей равной энергии. Это
уравнение позволяет обосновать также использование квантовомеханического
подхода при анализе рассеяния электронов и дырок в полупроводниках.
При наличии нескольких минимумов выражение для волновой функции
необходимо изменить. Если минимум расположен при к= к0, то
соответствующая волновая функция дается формулой
^ = ^*,exp(jk0-r)F(r). (11.16)
Тогда волновая функция для случая М минимумов выражается в виде м
5МгМг)^*0 ехр(ik0 -г), (П-17)
г= 1 г г
где константы АТ находятся вариационным методом. Такие волновые функции
использовал Кон [27], который довольно подробно обсуждал вопрос о
применении метода эффективной массы для вычислений положения
энергетических уровней водородоподобных доноров, хотя он использовал
другую систему базисных функций. Для вырожденных зон, как, например, в
случае валентной зоны Si или Ge, необходимо внести в анализ некоторые
изменения. Этот вопрос обсуждали Кон [27], а также Мендельсон и Шульц
[28].
Несколько другой подход к методу эффективной массы дал Мак-Лин [29],
который для исследования этого вопроса применил к .p-метод. Он получил
почти такие же конечные результаты, но использованный им подход обладает
тем преимуществом, что позволяет рассмотреть некоторые более сложные
случаи.
420
11. Зонная структура и метод аффективной массы
11.5.1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ПРИМЕСЕЙ И ЭКСИТОНЫ
Применение метода эффективной массы и его распространение на случай
примесей с более глубокими уровнями, для которых "медленно меняющийся"
потенциал уже неприменим, подробно обсудил Стоунхэм [30]. Стоунхэм и
Харкер [31] выполнили расчеты для различных центров, в том числе и таких,
которые состоят более, чем из одного атома. Такие расчеты предусматривают
применение электронных цифровых вычислительных машин и достаточно сложны,
хотя и не в такой степени, как расчеты зонной структуры.
Стоунхэм [30] сделал обширный обзор экспериментальных данных по
энергетическим уровням примесей в большом количестве полупроводников и
сравнил их с расчетными значениями. Этот вопрос довольно подробно
рассмотрел также Милне [32]. Очень тщательное сопоставление
экспериментальных и теоретических результатов для частного случая доноров
в GaAs провели Феттерман и др. [33]. Самые последние расчеты дают очень
хорошее сцгласие теории с экспериментом, за исключением некоторых
примесей с глубокими уровнями в Si и Ge, для которых существуют еще не
вполне .объясненные расхождения. Как мы видели, для доноров с мелкими
уровнями в Si и Ge согласие между теоретическими и экспериментальными
результатами очень хорошее. Исключением является их основное состояние,
для которого область действия сил, обусловленных "центральным остовом",
является слишком малой, чтобы применить простой метод эффективной массы.
Ярош [34] сумел, однако, существенно сблизить результаты теории с
опытными данными, учтя изменения величин эффективной массы и
диэлектрической проницаемости вблизи "центрального остова".
Чтобы вычислить энергию связи экситона, необходимо видоизменить метод
эффективной массы применительно к системе, состоящей из двух частиц. Этот
вопрос мы уже обсуждали в разд. 10.6.
