Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
(dE/dt)s дается выражением
о
Л-----------г
ju!exp(-wr)rft'
о
8и2 (2nmekTe)'^ (Т-Те)
п IT
(12.13)
Можно видеть, что прн тепловом равновесии, когда Т=Те, (dE/dl)s равно
нулю, т. е. в среднем энергия электронов не изменяется в результате
столкновений.
Если, однако, приложено электрическое поле $, то электроны приобретают
энергию со скоростью (dE/dt){, которая определяется как ( dE\
= силах средняя скорость.
428
12. Влияние сильных электрических и магнитных полей
Если мы определим подвижность р, в поле напряженностью ? с помощью
соотношения
С помощью этого уравнения можно получить выражение для эффективной
температуры Те как функции электрического поля ?.
Чтобы выразить р. как функцию новой средней скорости или эффективной
температуры Те, заметим, что время релаксации по-прежнему дается формулой
x=Uv. Если мы выполним усреднение по скоростям таким же образом, как в
разд. 5.3, то вместо выражения (5.98) получим
где р0 - подвижность в слабом поле. Подвижность р, следовательно, имеет
вид
где В та же константа, что и в формуле (5.99). Подставляя значения
(dE/dt)s и (dE/dt)t в уравнение (12.15), получаем квадратное
уравнение'для эффективной температуры Те электронов в виде
который получил Шокли [2].
Когда дрейфовая скорость р0 ? намного меньше скорости звука и, мы видим,
что Те почти равно Т, т. е. температуре, соответствующей колебаниям
решетки. Для электронов в Ge с ро=0,39 м2-В-1х хс-1 при Т=300 К и "=5,4-
103 м-с-1 имеем ^р0"", если <?=10* В-м-1. Можно ожидать, следовательно,
что отклонения от линейного соотношения между ? и (р<?) возникнут при
довольно малых значениях поля. Решив уравнение (12.18), получим, что
При <?"^ц/р0 формулу (12.19) можно записать в приближенном виде
средняя скорость - р^*,
то получим
(12.14)
Для стационарного случая мы должны иметь
(12.15)
(12.16)
в
(12.17)
(12.18)
(12.19)
(12.20)
12. Влияние сильных электрических и магнитных полей
429
Из (12.20) следует, что Те>Т и Те-Т пропорционально^2. Таким образом, мы
видим, что эффективная температура электронов оказывается несколько выше
равновесной и что это эффект второго порядка, поэтому обычное
предположение о равенстве Те и Т оправдано. Подставляя значение Те,
полученное из формулы (12.16), в формулу (12.20), в том же приближении
имеем
р = р0(1 - а?2), (12.21)
где а=ЗлрУ64м2. Таким образом, мы видим, что (р-р0) также пропорционально
<§г и что при <?<^р0/" предположение о том, что р не зависит от ? и равно
р0, является хорошим приближением.
Квадратичную зависимость отклонения р от постоянной, величины при
возрастании ? от очень малых значений экспериментально наблюдали в Ge n-
типа Артур, Гибсон и Грэнвилл (31, однако найденная ими величина а
оказалась меньше, чем следует из формулы (12.21). Приведенный выше анализ
основан на модели, в которой эффективная масса предполагается скалярной,
тем не менее считается, что использование тензорной эс};фехтивной массы,
как требуется для Ge, при обычных температурах не сильно повлияло бы на
величину средней скорости обмена энергией между электронами и решеткой п.
Мы должны, следовательно, предположить, что существует какой-то другой
механизм рассеяния, который ускоряет обмен энергией. Этим механизмом вряд
ли может быть рассеяние на примесях, поскольку оно оказывается в сильной
степени упругим. Его влияние сводится главным образом к изменению
зависимости т от v, что изменяет выражение для (dE/dt)s. Ганн (51
рассмотрел не только случай рассеяния на ионизованной примеси, но и
случай смешанного рассеяния, в котором участвуют и ионы примеси, 11
решетка. В случае рассеяния только на ионах примеси значение а в формуле
(12.21) отрицательно, так что подвижность при возрастании ? сначала
должна расти, однако анализ экспериментальных условий показывает, что
малые наблюдаемые величины а не могут быть обусловлены случайной
компенсацией влияния решеточного и примесного рассеяния. Как показывает
намного более тщательный анализ процессов рассеяния, это расхождение
возникает, по всей видимости, из-за того, что не учитывается рассеяние
оптическими и более высокочастотными акустическими модами колебаний. В
книге "Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических
полях" 161, которая целиком посвящена этому вопросу, Эстер М. Конуэлл
очень подробно исследовала эти процессы, распространив рассмотрение всех
видов рассеяния, которые мы обсуждали в гл. 8, на сильные электрические
поля. Она же подробно обсудила применение этих результатов к Ge и Si, а
также к другим полупроводникам. Как мы
11 См., пзпример, [4].
430
12. Влияние сильных электрических и магнитных полей
увидим позже, в очень сильных полях важным является влияние более высоких
долин, однако оно не определяет значение'а, которое дает изменение р в
умеренных полях. С несколько иной точки зрения этот вопрос рассмотрел
Пейдж [7].
12.3. Горячие электроны
При дальнейшем увеличении ? следует ожидать значительного изменения р
