Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
причем Q—функция С, O', Я'.
Очевидно, что (g), (А) будут выражаться уравнениями, аналогичными (4).
Наличие множителя t -f- с вне знака тригонометрической функции в трех
уравнениях типа (4) вызывает те же аналитические трудности, что были
описаны в § 11.01. Там мы ввели новую пару переменных L и I, при помощи
которых эта трудность преодолевается. В настоящем изложении,
соответствующем более общему случаю, нам потребуется сделать и замену
переменных более общего вида.
246
Глава 12. Теория Луны Делонэ
§ 12.09. Новая переменная Л
Возвратимся к формуле (3) § 12.05:
*+с=—0) где L,
Sxi=Sx{L\ O', Н', С) = f UL', (2)
х
причем предполагается, что явное выражение для Sx определено. Выразим
теперь Sx через время посредством формулы
V = L0 + S Lp cos рК (3)
где X = 0о (/ —с). Пусть К С, O', Н') обозначает функцию,
полученную после такого преобразования. Тогда после подстановки в Sx
выражения (3) мы имеем тождественно
K(t + c; С, O'. H^zsS^L', O'. И'. С). (4)
откуда
дк _ as, dL' . as, ас ~ dL’ ' дС ’
Далее, согласно формуле (9) § 12.03, имеем
as> — А
ЖГ==Ь
и, используя формулу (1), получаем
(5)
f I . I дК л dL'
/+c+ac'-"9-ac'•
Следовательно, мы будем иметь тождество
'+с=[°» <*+с>+S9»sln Н х
X [ж+Е ж cos-('+*> ж 2 'V"»*]“
-0+о[».-&—
где через X обозначены члены вида
X = п. ч. + (/ + с) [п. ч.] + (/ -f с? [п. 4.J. (8)
С другой стороны, из формулы (2) имеем
S,-]tdL'- j*%U.
§ 12.10. Свойства Л
247
Поэтому
*=/е4?л да
О
Далее,
е = — [х + J] sin рХ][ pLp sin рХ] =
= — ~2 + 2^02 + 3L303 -f- ...) -f- п. ч. + (/ -f- с) [п. ч.].
(10)
Интегрируя равенства (9) и (10), получаем
АГ = -1ео(/+с)2]р^0р+П.Ч. + (/ + С)[п. 4.1. (11)
причем постоянная интегрирования равна нулю, так как, согласно равенству
(9), К = 0 при / = — с.
Из формулы (11) находим
(1Я
где К имеет, как и X, форму (8).
Подставим выражение (12) в формулу (7) и приравняем непериодические
коэффициенты при t-\-c. Тогда получим
1 1 дС 0° дС 2 ОС
откуда
1 ^ 0° IT I/o + Т Ц ^Л] • О*)
Пусть А определяется формулой
+ (15)
Тогда А будет функцией от С, O', Н'. Из равенства (14) имеем
дА 1_ . _
~дС’ 60' <16>
В дальнейшем А будет принята в качестве новой канонической пе-
ременной вместо С.
§ 12.10. Свойства А
Рассмотрим теперь формулу (5) § 12.03:
g' = (g) + $r- О)
Так как L' = L'(C, G', Н'), то из формулы (4) § 12.09 имеем дК _ dS{ dL’
dSt dG' ~ dL' ’ dG' "r dG' ’
248
Глава 12. Теория Луны Делонэ
откуда, принимая во внимание формулу (1) настоящего параграфа и формулу
(5) § 12.09, получаем
*'=(<+ (2)
Это равенство станет тождеством, если мы подставим вместо g' выражение
(g)+ go (*?+ с) + 2 gP sin pb
и L' заменим по формуле (3) § 12.09.
Тогда из формулы (2) будем иметь
-?о(' + <0 + # = <>!?- + п.ч. (3)
Сравним это уравнение с уравнением (6) § 12.09, т. е.
dU ...
* + с + дС~ дС *
Последующие преобразования формулы (3) будут идентичны тем, которые
выполнялись при выводе формулы (13) § 12.09, если мы
заменим С на О' и коэффициент (единицу) при t в уравнении (4)
на
— go в уравнении (3). Мы тогда получим
п дА
—So = % ~5а>- (5)
Аналогичную формулу можно записать и для й0.
Таким образом, Л как функция С, O', Н' имеет, согласно формуле (16) §
12.09 и формуле (5), следующие свойства:
дА J_ дА gq дА ha
~дС~ 0О’ dG' 0„ ’ дН' ~ 0о '
(6)
§ 12.11. Новые канонические переменные
Так как
Л=Л(С, О'. И'), (1)
то
dK = ^-dC+^rd<r+^rdH'.
или, согласно равенствам (6) § 12.10,
dC = 0odA-\- g(j dG' + h0 dH'. (2)
Однако из формулы (1) мы можем выразить С в виде С (Л, О', И'). Поэтому
§ 12.12. Уравнения для А, 6', И'
249
Сравнивая это выражение с формулой (2), имеем
дС п дС _ дС _ «
Ж °’ W-go’ w
Сохраним G' и H' в качестве новых переменных. Тогда неугловыми
переменными будут Л, O', Н'.
Пусть X, х и 7) означают непериодические члены в формулах для V, g\ А'1)*
Они, как показывают формулы (2) — (4) § 12.07, имеют вид
Х = 60(*+<0 — qnxt — (4)
X = (*) + *<> (*+«). (5)
т1 = (А) + А0(/ + с). (6)
Мы теперь покажем, что Л, X; О', х: И', ц являются попарно сопряженными
каноническими переменными.
§ 12.12. Уравнения для А, &, Й'
Уравнения, которые нам нужно преобразовать, имеют вид (9) § 12.07, т. с.
дс dig) д (A) w
Мы предположим, что функция Гамильтона Rx преобразована к новым
переменным, и обозначим ее через R'. Тогда мы будем иметь тождество
Л,(С. O'. Н'; с, (g), (А)) ==Я'(Л, O', Н'; X, х, п). (2)
Рассмотрим сначала второе из уравнений (1). Из формулы (5) § 12.11 видно,
что (g) входит в уравнения только через Поэтому из тождества (2) находим
dR, _ dR' дг __ dR'
d{g) dx • d{g)— dt ' W
Аналогично
dR, dR'
д (А) дц
(4)
Поэтому из формул (1), (3) и (4) получаем
ry dR' й/ dR' ,е
(r — ~d^' н =Ж' (5'
’) X в формуле (4) не следует смешивать с X, которое использовано в
предыдущих параграфах как краткая запись в0 -J- с).
250
Глава 12. Теория Луны Делонэ
Рассмотрим теперь первое из уравнений (1). Из формул (4) — (6) § 12.11
видно, что с входит в уравнения посредством X, % и т). Поэтому
