Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
необходимо включающая член р2/2А2, равна
да+т?[1+4(<'8-1г+‘Э]- <7>
При помощи формул (6) она может быть выражена через L, О, Н. Здесь ег —
постоянная величина.
Метод Делонэ заключается в следующем: а) записываем R' в виде
R' = — В — 2 A cos (И + jg + kh + qnxt + q'), (8)
где i, J, k и q — положительные или отрицательные целые числа (включая
нуль), q' — выражение, линейное относительно ffip 2, и 6j с числовыми
коэффициентами, а В и А — функции L, О и Н, определяемые формулами (6);
б) выбираем один тригонометрический
§ 12.02. Вспомогательная функция S
235
член из суммы (8); в) заменяем в уравнениях (1) R' функцией /?„, которую
мы запишем для члена общего вида следующим образом:
R0 = _ В — A cos (// + Jg + kh + qnxt + q'), (9)
и полученную систему уравнений решаем методом Гамильтона — Якоби.
Разложение R' вида (8), использованное Делонэ. включает 320 периодических
слагаемых и охватывает все члены до седьмого и некоторые до восьмого
(включительно) порядка относительно малых величин.
§ 12.02. Вспомогательная функция S
Введем новые канонические переменные L', G', IV; g', Л7, которые связаны
линейно со старыми, так что, согласно равенству (6) § 11.05, имеем
L'l' + G'g' + H'h' = Ll + Gg + Hh. (1)
Прежде всего выберем I' и V следующим образом:
l' = U+jg + kh, (2)
L' = \-L (3)
В формуле (3) предполагается, что I Ф 0.
Тогда равенство (1) примет вид
G'g' + H'h' = ? (О -l) + А (Я - ?? ^) •
Условие (1) удовлетворится, если положить
g' — g. k' = h (4)
и
G' = G — y L, H' = H—jL. (5)
Следовательно, мы получаем новые канонические уравнения
d (U, G', Н') dR0 d_ , , _ dR0
dt ~ д (/', g'.h') ’ dtK ' }~ d (L\ G', H’) ’
в которых
/?о — — В — A cos (I' -(- qnxt —|— G,/), (7)
причем предполагается, что А и В при помощи равенств (3) и (5) выражены
через V, G', Н'.
Так как формула (7) не содержит g' и А', то из уравнений (6) мы имеем G'
= H' = 0. Таким образом, О7 и Н' являются постоянными, которые мы в
дальнейшем отождествим с двумя каноническими постоянными, появляющимися
при решении уравнений (6).
236
Глава 12. Теория Луны Делонэ
В соответствии со способом выбора новых переменных мы будем рассматривать
L' и I' как основные канонические переменные1)-Используя обозначения,
принятые в обшей теории, отождествим величины L', (У, Н' с обобщенными
координатами qlt q2, q3, величины I', g', h'— с соответствующими
сопряженными величинами /?,, р2, Рз и R0 — с функцией Гамильтона H(q, р.
Г).
Мы решим уравнения (6), если найдем любую функцию (6) S(q, a, t) = S(L',
a, t),
содержащую три независимые постоянные а1( а2, а3 и удовлетворяющую
уравнению Гамильтона — Якоби:
‘^ — B—Acos(J?r+qnlt + q,') = 0. (8)
Положим
S = S' — {qnlt + q4L'. (9)
Тогда уравнение (8) примет вид
qn-JJ — В — Л cos (-gp-j == 0. (10)
Так как t не входит явно в это уравнение, то dS'/dt = C, где С —
постоянная, которую мы отождествим с постоянной аг, фигурирующей в общей
теории.
Пусть
В, = Вдтг,?'. (11)
Тогда из уравнения (10) находим
№ (С — В,\ /to.
-gjj = arccos ). (12)
Следовательно,
?'
S' = Ct + f arccos ( C~Bl )dL' + D, (13)
x
где D — постоянная, а нижний предел интегрирования X есть функция С, O',
Н' и будет определен особо. Подынтегральная функция зависит от L', O', Н'
и С, причем O', Н' и С — постоянные. Таким образом, этот интеграл может
быть вычислен по крайней мере в принципе.
В процессе решения уравнения (8) мы ввели пока только одну из трех
постоянных а, именно С. Следовательно, D должно быть функцией otj и а3 и,
конечно, должно быть постоянным. Простейшая форма D следующая:
D — а^О' -|- а3Н'. (14)
') Если бы 1 — 0 и j Ф 0, то вместо равенств (2) и (3) мы
использовали бы формулы g' — ]g-\- kh. G' = G/j к тогда G' и
g' рассматрива-
лись бы как основные канонические переменные.
§ 12.0S. Формальное решение
237
Это согласуется с требованием, чтобы S была любой функцией, содержащей
три произвольные постоянные и удовлетворяющей уравнению (8).
Принимая обозначения Делонэ, мы положим tx2 = (g), а3 = (А). Тогда из
формул (9), (13) и (14) имеем
S = Ct — (qnxt + q') U + S, + (g) О' + (Л) Я'. (15)
где через Sj обозначен следующий интеграл:
v
S, = J* arc cos^ В’? j dL’. (16)
§ 12.03. Формальное решение
Решение уравнений (6) § 12.02, вытекающее из выражения (15) § 12.02,
будет
р.—з|='+-§? С)
р^4)=0'' (2)
e-W~Tin—(№'+?'). №
= <5>
*'-?Эт—w+то1-- <6>
Ранее мы видели, что О' и Я'— постоянные, а равенства (2) и (3)
показывают, что О' и Я' суть канонические постоянные, которые являются
сопряженными с а% и 03, т. е. (g) и (А).
Здесь будет уместно привести формулы, определяющие введенные канонические
постоянные (за исключением pit которую мы определим позже):
а г = С, oj = (g), «3 = (А), р2 = 0'. р3 = Я'.
Так как St — функция переменной U и постоянных О', Я' и С,
то
уравнение (1) можно в принципе решить так, чтобы можно было
представить L' в виде функции t — р,, О', Я' и С. Тогда мы сможем
написать
!' = //(/-?,; О', Я'. С). (7)
238
Глава 12. Теория Луны Делонэ
