Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
подлежащие решению, имеют вид
/ / _ &R\ V/ dRi
L ~ dl' ’ 1 ~~ dU '
hj d/?i ? /_______d/?|
dg' ’ g ~ dG' плюс два аналогичных уравнения для Н' и h'. Здесь
/?1==C0 + 2Ci(^‘ O'. tfOcosstf' + an^ + v).
(7)
Поэтому G'= Н' = 0, так что (У и Н' — постоянные, равные, например, а2,
а3. Уравнение Гамильтона — Якоби приводится к виду dS dt
+ со + ^С5(^- «2- a3)cos[s(-|^- + tfny + v)] = 0.
Это уравнение содержит только переменную U. Его решение может быть
найдено при помощи методов, которые мы опишем более подробно в гл. 12. В
результате этого будет введена третья посто-
15*
228
Глава И. Переменные Делонэ и Пуанкаре
Решение уравнений (7), таким образом, формально получено, причем
сопряженными постоянными являются а, и fJt- (/ = 1, 2, 3).
Когда а, и р, приняты в качестве новых канонических переменных, уравнения
могут быть немедленно написаны, причем функция Гамильтона будет совпадать
с первоначальной функцией Гамильтона, из которой члены вида 2^ic0ss^
устранены и к которой прибавлена часть, аналогичная слагаемому p2/2i2,
добавленному к R в формуле (3) § 11.04.
Без дальнейшей детализации теперь очевидно, что описанную операцию можно
повторить для исключения некоторых других членов или группы членов из
первоначальной возмущающей функции.
Практическое значение метода, только что кратко изложенного, состоит в
том, что две модифицированные переменные Делонэ О' и #' являются
постоянными, вследствие чего уравнение Гамильтона — Якоби принимает более
простую форму.
§ 11.06. Важная модификация переменных Делонэ
Из выражений (1) § 11.04, дающих выражения переменных Делонэ через
эллиптические элементы, очевидно, следует, что L—О или G — L имеет
порядок е2. Поэтому если в качестве G' взять L — О (или О — I), то G'
будет иметь порядок е2.
Аналогично так как
О — # = 0(1 —cos 0 = 20 sin2 у,
то О — Н (или Н — О) имеет порядок ?2, где ^ = tg/.
Рассмотрим следующие модифицированные переменные:
V — L, О' = 0 — L, #' = # — 0. (1)
Чтобы установить вид сопряженных переменных /', g', А', мы воспользуемся
условием (6) § 11.05.
Так как L' = L, то
L’(l + g + h) = L{l + g + h)=z
= Ll+Gg + Hh-(g + hHO-L) — h(H-G), (2)
или если воспользоваться формулами (1), то
L' (I + g + h) + O' (g + h) + H'h = LI+Gg + Hh.
Поэтому условие
L'V + G'g' + H'h' = LI + Gg + ЯА
удовлетворится, если положить
l' = l + g + h, g' = g-\-h, h' = h.
(3)
§ 11.06. Важная модификация переменных Делонэ
229
Переменные l',g' и Л' выражаются через эллиптические элементы следующим
образом:
/' = / -|- ш, ё' = “• А' = 2. (4)
где /'— средняя долгота.
Аргументы периодических членов возмущающей функции, таким образом, легко
выражаются через I', g' и А'. Из равенства (2) легко убедиться, что если
бы мы выбрали О' и Н' по формулам
G' — L — О, Н' = 0 — Н,
то соответствующие сопряженные переменные выражались бы равенствами
Л' = — Л — — 2.
Таким образом, в аргументах периодических членов возмущающей функции
необходимо было бы изменить знак там, где входят элементы * и 2.
Следовательно, выбор переменных по формулам (1) является, очевидно, более
удобным.
Определяя О' согласно (1) мы имеем
' = G-L = L(\fT==?-= (5)
т. е. О' отрицательно. В первом приближении
, 2 G'
е2 = ZT-
Во втором приближении
О'
2 2 G'
е2 = г—
(Я- ®
Более высокие приближения, если они требуются, могут быть получены
аналогичным образом. Тем же путем любая степень е может
быть представлена в виде ряда степеней Y—2Q'jL. Например,
‘=/=?г(1 + ё-+ от
Аналогично
Н' = — 0(1 — cos/) = — 2(0' + A)sin2y,
откуда
s,n2T=—%e{1 +-?-) *• w
Поэтому sin2 (//2) (или 7) может быть выражен с любой степенью
приближения степенным рядом относительно —H/2L и G'jL. Возмущающая
функция тогда будет иметь вид C04-2C'cos(ii', где 6' = И' + Jg' + kh! +
unxt + v.
230
Глава 11. Переменные Делонэ и Пуанкаре
Мы можем теперь проделать операции, описанные в предыдущем параграфе,
выбрав модифицированную переменную I" по формуле
/" = //' +уу + М'.
Для справок мы соберем выражения для модифицированных переменных Делонэ
через эллиптические элементы:
L' = L = V^,
G' = G — L — Y^a (УП^72 — l),
Я' =Я— б=Ура( 1 —e2)(cos/ — 1),
/' = /-}-? +Л = средней долготе,
У = ? + Л = й>,
А' = Л = 2.
(9)
§ 11.07. Переменные Пуанкаре
Мы обозначим эти переменные пока через Lv Gr Яр /,, gv hv Первая пара
переменных в обозначениях предыдущего параграфа выбирается следующим
образом:
?, = ?' = L, 1^ = I'= l-\-g-\-h. (1)
Предположим, что вторая пара определяется по формулам
О, = Л sin у, gi = A cos g', (2)
где g' = g-f-h и А, — вообще говоря, функция G' и g'. Аналогично условию
(4) § 11.03 Gj и gl будут сопряженными, если
д (О,. g\) — 1
d(G',g')—Ь W
откуда легко найти, что A(dA/dG') = — 1. Поэтому мы можем для А принять
следующее выражение: А = У — 2G'.
Третью пару определим с помощью формул
Я, = В sin Л', Л, = В cos А'.
Применяя прием, аналогичный только что описанному при нахождении А, мы
найдем, что B = Y—2Я'. Полная совокупность переменных тогда
