Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть 0 определяется формулой
0 = /' + qn^t + q'. (8)
Тогда 0 будет аргументом косинуса в формулах (7) и (8) § 12.02. Поэтому
из равенства (4) мы имеем
й as, 1С — В\ ...
== ЦП ~ cos ^ j ) О)
или
С — B1 = i4cos0. (10)
Таким образом, 0 может быть выражена через L', O', Н' н С. Мы
сможем тогда записать формулу (16) § 12.02 в виде
L' и
$i = J 4dL'= J arc cos (— ~А Д| \dU. (11)
х х
Мы теперь определим X как то значение L', которое
соответствует нулевому значению 0. В таком случае из формулы
(10) най-
дем, что X есть корень уравнения
С — Вх = А
и является, как это следует из предыдущего, функцией от С, G' и Н'.
§ 12.04. Форма решения уравнений для V и V
Рассмотрим два основных уравнения
/ / ____________________________ dR0 ..
L дР~' 1 ~ ЦТ’ w
где
R0 = — В — A cos (Г qttj -\-q') — — В — A cos О
и 0 дается формулой (8) § 12.03. Тогда
U = A sin 0 (2)
и
?/ п дВ . дА п
I' = 0 — qat = -gjr + -fir cos 0;
или, принимая во внимание формулу (11) § 12.02,
а дВ 1 | дА . ...
0=azr+a27cos9-
Это уравнение для удобства запишем в виде
б — В' + A' cos 0, где А' и В' — функции L', О', И'.
§ 12.04. Форма решения уравнений для L' и V
2Э9
Далее, выражение для возмущающей функции показывает, что А и,
следовательно, А' имеют по крайней мере порядок т2 н что В и Вх —
величины нулевого порядка, поскольку в R' входит аддитивный член
ц.2/2I2. Так как, согласно сказанному, А — малая величина
порядка т2, то если отбросить члены порядка т2, мы сможем записать
уравнение (2) в виде LI = 0, откуда в первом приближении находим, что L'
= L0, где L0 — постоянная, имеющая нулевой порядок.
Тогда первое приближение для 0 может быть найдено из уравнения (3), если
отбросить А' и подставить L0 вместо V в выражении для В’, причем В'
теперь будет равно некоторой постоянной В0. Тогда, полагая
0 = Во = 0q,
получаем
0 = 0о(* + с) = Х, (4)
где с — постоянная интегрирования. Очевидно, что 0о — величина
нулевого порядка, так как В0 имеет нулевой порядок.
Рассмотрим теперь второе приближение. Положим
L = Lq-\-L\, 0 = X —|— 01»
где l[ и о; — малые порядка от2. Тогда с рассматриваемой точностью
уравнение (2) примет вид 2.1 = Д) sin X, причем Aq — значение А при L' =
L0. Поэтому
U = Lq —|— Z-i cos X, (5)
где Lx = — Aq/Ь о — малая порядка т.2.
Теперь уравнение (3) принимает вид
0 === X —|— 01 — В -j- Д) cos X,
и, разлагая В' в ряд Тейлора, находим с точностью членов порядка т2
В =50+(4p-)/i-
Но Z.J = Z-i cos X. Поэтому Х + 01 =
откуда, поскольку в первом приближении Х = 0О, находим
01 = 0i sin X,
где
240
Глава 12. Теория Луны Делонэ
Решение во втором приближении имеет вид
U = Lq —(— Lj cos X, б = X —(— 6j sin X,
причем
^ = ®o “f*c)•
Очевидно, что в более высоких приближениях мы можем пред» ставить решения
(2) и (3) в виде рядов
I' = I0+2 Ipcospe0(/ + c). (6)
р= 1 '
в = + 0pSinp6o(/ + c). (7)
р=1
где Ц, б0, Lp, бр — функции С, G' и Н'.
Согласно формуле (8) § 12.03, ряд для I' будет иметь вид
V = 0о (/ + с) — qnj — + 2 0,, sin рб0 (t + с). (8)
Нужно иметь в виду, что значительная часть операций состоит в получении
рядов (6) и (7) по степеням /и не, ev 7. fp a/av Мы рассмотрим более
подробно эту часть задачи в § 12.17.
Как уже было показано, б0 имеет нулевой порядок, а ^ и б,—
малые величины порядка /и2. В формулах (6) и (7) Lp и бр
(Р > О — величины более высокого порядка, чем т2. Оценивая порядок
величин, мы придем к выводу, что А имеет наименьший порядок, т. е.
порядок т.2.
§ 12.05. Определение ^
Рассмотрим уравнение (1) § 12.03, т. е.
ь-н~и!- <»
где
L'
J bdV.
х
Мы будем иметь
х
где (б) равно значению б при L' = X. Следовательно, по определению, (б) =
0.
Далее, так как cos б = (С — BJ/A, то, принимая во внимание формулу (2) §
12.04, имеем
дв 1 __1_
дС A sin О V
§ 12.06. Формулы для g' и А'
241
Поэтому из уравнения (2) будем иметь
t
= - Jdt = t0 — t.
где /0(={3j) есть то значение t, при котором L' = X, т. е. 0 = 0. Но из
формулы (7) § 12.04 следует, что 0 = 0, когда / = — с. Отсюда находим,
что
Pi= *о= — С'
Уравнение (1) теперь можно записать в виде
! + с = -^. (3)
Далее, Sl — функция L’, G', Н' и С, из которых только I! является
переменной. Таким образом, уравнение (3) дает нам возможность в принципе
выразить L' через t-\-c, G'. Н' и С, причем L' фактически будет
выражаться рядом (6) § 12.04.
§ 12.06. Формулы для g' и А'
Рассмотрим уравнение (5) § 12.03, т. е.
O'= <g) + Tizjr =*(?)+ f (1)
X
Как и в предыдущем параграфе, (О) = 0. Далее,
cos 0 = С~Д| ,
А
где Вх и з4 — функции О'. Поэтому
м'*«ш1=ш+?йг^-ж=р<е-и-0'’н''>- ®
Тогда так как V = Л sin 0 и t = — с, когда L' = X, то уравнение (1)
принимает вид
/
g' = (g)+ f F(C, V, O', H’)dt.
-e
Поскольку L' выражается рядом (6) § 12.04 по косинусам, то, очевидно,
функция F может быть разложена в тригонометрический ряд вида
F = g0 +% Dp cos p%(t +с). (3)
16 У. Смарт
242
Глава 12. Теория Луны Делонэ
Поэтому, интегрируя, найдем
g' = ig) + go it + с) + 2 gP sin p% it + c), (4)
