Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
новых обозначениях имеет вид
Так как I дается формулой (1), то условие (3) принимает вид
Это уравнение удовлетворится, если L = L(ах) такое, что дЬ/дфх = = dL/dt
= 0. Следовательно, мы можем равенство (5) записать в виде ndL = dal или,
принимая во внимание формулу (3) § 11.01, dL=?? — dY^a. Поэтому
/ = /(plf t) = «(* + Р.).
О)
(4)
(5)
(6)
') Не следует смешивать со средней долготой, уже использованной,
например, в формуле (12) § 6.02.
224
Глава 11. Переменные Делонэ и Пуанкаре
Тогда равенство (4) примет вид
<?==-/w^-rfa>==-a>- <7>
Следовательно, учитывая формулу (6), имеем
= Я + -^. (8)
Тогда канонические уравнения, содержащие Lai, будут иметь вид (2), причем
R' теперь предполагается преобразованной в R' (L, /).
Так как {л2/2L? не зависит от а2, р2, то соответствующие канонические
уравнения могут быть записаны в виде
• W_ а _ dR'
a— * Р2~ da2 ’
Уравнения для оставшейся пары переменных (otj и (У могут быть записаны в
аналогичной форме.
§ 11.03. Другой вывод формулы для L
Читатель может рассматривать содержание этого параграфа как пример
непосредственного получения результатов предыдущего параграфа без помощи
общих формул предыдущей главы.
Будем исходить из условий
L^tL{a,, р,. 0. / = «(* + ?!>. (О
где й = й(о,). Мы тотчас же получим
;____ дЬ • . дЬ А , dL dL OR dL dR dL
"da, #l dp, rl~r dt dat ? ^ ^ ’ dat dt ' '
Аналогично
I _ dl dR_ JH_ ±R_,dl_
da, ' dp, dp, ’ da, "г" df * W
Далее, при помощи формул (I) получаем R(av t) = R(L, I, t). Поэтому
dR _ dR dL . dR dl
da, 6b ’ da, “г" dl ’ da, ’
dR __ dR dL . dR dl
IpT ~ dL ‘ dp, "T" dl ’ dp, *
Подставим эти равенства в соотношение (2). Тогда ; d (L, I) dR . dL
§ 11.04. Переменные Делона
225
Аналогично
d(L, О . dl
l~ d(at, p,) dL "t" dt '
Следовательно, если
= i (4)
<>(«.. P.) W
где
d<f dL dt dl _
dl ~~ dt ’ dL * dt' W
TO
dt ' dL
Если L~L(а,), то равенство (4) эквивалентно равенству ndL = rfaj, из
которого ? = Ур.а, т. e. получаем результат, выраженный формулой (6) §
11.02.
Из уравнений (5) находим
<Э?_л и __ rf<p _
д/ —0 dL ~ dL — ~п'
поэтому <р =— aj. Тогда R! будет выражаться формулой (8) § 11.02.
§ 11.04. Переменные Делонэ
Делонэ ввел следующие обозначения:
l==Yv^> l=*n(t -h Pi).
Ossete Ура (1 — e2). g = $2 = <o. (1)
//=a3 = У|ло (1—e2) cos /, A = p3 = 2,
рассматриваемые теперь как стандартные. Канонические уравнения тогда
примут вид
; dR' : _ dR'
ИГ’ 1 dL *
О-М. -е—*В.1 (2)
U—dg' g— dQ' W
я=—, it - dR>
где
15 У. Смарт
226
Глава II. Переменные Делонэ и Пуанкаре
Эти уравнения являются отправной точкой в теории движения Луны,
разработанной Делонэ.
Переменные I, g, h называются угловыми переменными, a L, О и И —
неугловыми переменными.
§ 11.05. Модификация переменных Делонэ
Эти переменные связаны с расширенным линейным точечным преобразованием
переменных Делонэ L, О, Н; I, g, h. Общей теорией такого преобразования
мы занимались в § 10.08 и здесь на нее будем ссылаться.
Будем понимать под величинами qr (г = 1, 2, 3) переменные L, G, Н, под
величинами рг — переменные I, g, А, а под Q, и Р,— переменные L', O', Н'
и /', g', h! соответственно.
Согласно формулам (1) и (2) § 10.08, общее линейное преобразование дается
уравнениями
и двумя аналогичными уравнениями для G' и Н'. Переменные L', 1'\ G', g'\
И', А' суть пары канонических переменных. Функция Гамильтона остается
неизменной, если, согласно условиям (5) и (6) § 10.08,
где s и f принимают значения 1, 2 и 3.
Если в уравнениях (1) мы зададим величины а, то величины А в уравнениях
(2) определятся при помощи формул (8) § 10.08, т. е.
где a'fS — алгебраическое дополнение элемента ars в определителе
и
V = anl-\-al2g-\-aXih, g' = a2li-\-a22g-\-a23h, А' = я31/+ a 32g + «ззА
L'= AnL+АпО + А^Н
О)
(2)
3
2 ars^rs 1 >
r=l
(3)
3
2 ars^rt 0 (f Ф $)•
r=l
(4)
(5)
a\\ a12 flI3
Д = a2X ай
e3i аги азз
§ 11.05. Модификация переменных Делонэ
227
Кроме того, согласно достаточному условию (9) § 10.08, условия
(3) и (4) эквивалентны такому:
L'l' + G'g' + H'h' = Ll+Gg + Hh. (6)
Цель таких преобразований состоит в том, чтобы упростить, насколько это
возможно, уравнение Гамильтона — Якоби. Мы кратко поясним это следующим
образом.
Пусть R' означает совокупность членов возмущающей функции вида
С0+2С,cosS0 (5=1, 2,...), где коэффициенты С зависят от L, О, Н и
0 = И + Jg -f kh + unxt 4- v,
причем /, У, k, и — положительные или отрицательные целые числа (включая
нуль) и v — линейная функция элементов ш,, Q, и возмущающего тела.
Для того чтобы решить канонические уравнения с функцией Гамильтона Ry
положим
l' = tl + jg + kh,
где I, J и k теперь означают а„, а12, а13, входящие в уравнения (1).
Предположим далее, что коэффициенты а в формулах (1) для g' и h' каким-
либо образом уже выбраны (на практике при этом выборе стремятся к
получению упрощений или к достижению некоторых других преимуществ).
Коэффициенты А тогда можно найти при помощи формулы (5), a L, О, Н
выразить через //, (К, Н' посредством уравнений (2). Уравнения,
