Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
образом; другими словами, мы можем, используя формулу (2), разложить
такие члены на элементарные дроби и получить для них конечные выражения
вида (3). Очевидно, это преобразование является более сложным, чем вывод
выражения для А в формуле (1), и мы отсылаем читателя для ознакомления с
подробностями к «Теории Луны» Брауна *).
‘) Е. W. Brown, Lunar Theory, p. 223.
27 У- Смарт
418
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
§ 18.28. Вычисление с
Если m известно, то можно найти величины в0, 0,. Тогда численное значение
А (0) может быть получено при помощи формулы (3) § 18.27 с требуемой
степенью точности.
Мы видели, что корни уравнения А (с) = 0, если опустить индекс 0, имеют
вид с ± 2г, где г — целое число. Выберем в качестве главного значения
корня значение с, ближайшее к единице, так как именно это значение с
определяет движение перигея Луны.
Когда А(0) вычислен, то значение для с с точностью до т1 включительно
получается от формулы
sin2-j'*tc = A(0)sln2^i-ic
Значение с, найденное таким образом, равно
с == 1,0715838.
Принимая во внимание члены более высокого порядка в разложении А(0), Хилл
с точностью до 15 знака после запятой получил
с= 1,071583277416012.
§ 18.29. Общее решение, зависящее от ш
Интересующие нас уравнения (9) и (10) § 18.05 имеют вид
D(uDs— sDu — 2m«s)-|- ш2(и2 — s^ssO, (1)
D2 (us) — Du • Ds -|- 2m (s Du — и Ds) ш2(и-(- s)2 = C. (2)
Согласно § 18.13, приближенное решение эквивалентных им уравнений,
выраженное через А и и As, имеет вид и-|-Ди и s-|-As, где и и s —
функции, соответствующие промежуточной орбите; А и выражается формулой
Г1 А« = 2 ef+' + e* У~12 /?2'-с, (3)
а С As имеет аналогичный вид. Первую сумму в формуле (3) мы запишем в
виде
2«,С2<Со.
где
Со = ехр [У—-Т (с? — о>)]. (4)
Далее,
с& — о> = с (л — л^ (/ — /0) — и> =з с (л — л,) (/ — /j). (5)
§ 18.29. Общее решение, зависящее от m
419
где
С (Я — Я,) /, = С (Я — Я[) /0 (О.
Поэтому
Со = ехр[У—[ (я — я^(t — /,)]. (6)
Таким образом, величину tx можно рассматривать как произвольную
постоянную, заменяющую ш.
Из формулы (3) мы видим, что решение уравнений (1) и (2)
с точностью до первых степеней Ая и As может быть записано
в виде
и = а2»2/+РсС2'+,СГ.
s = a S »2/+РсС-(2/+%_рс. (7)
где р = —1, 0, -|-1, причем р = 0 соответствует промежуточной орбите, и
поэтому А2, — а1.
Общее решение уравнений (1) и (2), когда учитываются все степени Дя и As,
имеют вид (7), где р принимает любое целое значение, положительное или
отрицательное, включая и нуль.
Если D0 означает оператор Cq (rf/rfCo), то мы имеем
= V—i (« - *i) Я = V~l (« - «i) Dq.
Поэтому
D (C2i+,CT) = (2/ + 1 + pc) C2i+,Coc
и
D2 (C2i+,CT) = (2/ + 1 + pcf C2i+1^c.
Положим Co = C и запишем формулы (7) в виде С-1я = a S 2 Ди+ pcC2i+c.
Ca = a22/l2/+pcC-(2i+/x:). (8)
i р
Подставим эти выражения в уравнения (1) и (2) и приравняем коэффициенты в
обеих частях полученных равенств при одинаковых степенях С. Мы получим
линейные уравнения для коэффициентов А, из которых методом
последовательных приближений могут быть найдены выражения для А в виде
функций ш и с и одного из этих
коэффициентов, соответствующего е0 в § 18.13. Методика опреде-
ления коэффициентов А аналогична той, которая применялась при определении
коэффициентов at, соответствующих промежуточной орбите. Эта методика
приводится в теории Луны Брауна1),
') Е. W. Brown, Lunar Theory, p. 207,
87*
420
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
§ 18.30. Уравнение для определения широт
Если пренебречь эксцентриситетом орбиты Солнца и его
параллаксом, то W = 0, и уравнение для определения широты,
согласно
формуле (13) § 18.04, будет иметь вид
D**-(-?- +и») * = 0. (1)
Далее, r2 = us-\- z2. Если отбросить г2, то r2=us и согласно формуле (7)
§ 18.12 будем иметь
-? + m2 = 2 (2)
где = Однако z есть малая порядка у, где f = tg/ и в невозмущенном
движении z представляется рядом синусов. Пусть Z = lz, где 1 — Y—*• Тогда
из уравнений (1) и (2) получим
D2Z = 2(2 Mp*)Z. (3)
Это уравнение имеет ту же форму, что и уравнение (1) § 18.22, и его
решение, зависящее от произвольных постоянных у и р, имеет вид
Z = a yei?2C/i2J+t. (4)
Величина z равна мнимой части выражения (4), т. е.
z = aT2^sinl(2y + g)l; + p]. (5)
где постоянную С0 без ограничения общности можно положить равной единице.
Подставляя выражение (4) в уравнение (3) и приравнивая друг другу
коэффициенты при в левой и правой частях, мы
обычным путем получим
(g + 2J)2Cj = 2^tMJ_iCt. (6)
Если в этом уравнении Cj заменить на bj, g — на си 2 Mj_t — на ву_;, то
получим уравнение вида (2) § 18.25. Поэтому метод определения g совпадает
с методом определения с, и при этом определяющее уравнение будет иметь
вид
A(g) = 0. (7)
Например, с точностью до малых порядка т3 включительно найдено, что
g=l-(-m-(-|m2_||m3. (8)
Этот корень уравнения (7) близок к единице и согласуется с наблюдаемыми
возмущениями в узле орбиты Луны. Численное значе-
§ 18.31. Движение узла в первом приближении
421
