Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 18.24. Вид функции q
411
а затем как функции величин Q. Поскольку Е, представляется рядом по
косинусам, так же, как и Е?, то \Vt = W-t.
Поэтому
ЕЕ = 22/<?/(С2' + Г2').
т. е. DF имеет вид '^iPtcos2l\.
3) Последний член в выражении 0 есть Е2, который, как легко видеть,
разлагается в ряд по косинусам.
Вычисления Хилла с точностью до малых порядка т5 включительно привели к
следующим выражениям 6П, 0] и 02 через коэффициенты а:
0О = 1 + 2т —\ т2 + т2и,+54а2+ (12—4т) а1а_1+(6-4ш) а2_г 0, = (6 + 12т)
а, + (6 + 8т) а_, -1 т2.
02 = 2Оша2 + (16 + 20т) а_2 — (9 + 40т) а2+ 6а,а_,+
+ (7 + 4т) а2_, — т2 (а, — а_,).
Таким образом, коэффициенты 0 можно вычислить, если в эти выражения
подставить числовое значение т. Заметим, что 0^ имеет порядок /»12<1.
§ 18.24. Вид функции q
Вспомним, что q есть дифференциал длины нормали в точке Р (см. рис. 26),
связанный с Дх и Ду первой формулой (2) § 18.20, которую мы запишем,
используя обозначения С = x/v и S = yjv, в виде
? = -^(хДу — уДх).
Выразим х и у через и и $ и подставим Дх и Ду из соотношений 2 Дх = Ди +
Д s, 2 i Ду = Ди — Д s.
Тогда получим
?=2^-($Д« —иД$) = [С Ds ? (С"1 Ди) - С"1 Ей • (С Дs)\. (1)
Таким образом мы свяжем q с выражениями С-1 Да и СД$, определяемыми
равенствами (2) и (3) § 18.13, которые запишем, учитывая
412
Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
для удобства только члены с коэффициентами е, в виде Г1Ди = 2?гС2г+с,
=
где Er = ertxр[——l], а Е' и Cj—комплексные величины, сопряженные с ? и С
соответственно. Поэтому
С Ds • (С-1 Ди) = - [S (2/ + 1) и/Г2Ч[Ц Еге+С] =
= SS(2/+1 )aiEi+J?J+c.
Аналогично
С-1 Ди • (С As) = 2 2 (2/+ 1) afi't+j Ciy+c.
Следовательно, выражение, стоящее внутри квадратных скобок в формуле (1),
имеет вид
2 Р) cos 1(2У + с) 5 — ю],
где P_j = Pj.
С другой стороны,
v2 = — (я — я,)2 Du • Ds.
Легко видеть, что v можно представить в виде 2Q*C0S2?; и, кроме того, что
l/v имеет такой же вид. Отсюда следует, что д в формуле (1) должно
выражаться так:
д — 2 Rjcos [(2У+ с) 5 — о], или, вводя величину С, в таком виде:
<7==2^+с+2^“с- (2)
Включение членов с коэффициентами /, фигурирующих в равенствах (2) и (3)
§ 18.13, приводит к аналогичным результатам. Таким образом, формула (2)
дает общий вид функции д, причем две дополнительные постоянные
интегрирования входят в коэффициенты bj и dj.
§ 18.25. Уравнение для определения с как функции ш
Согласно формулам (1) и (2) § 18.22, уравнение для д имеет вид
D*g = g 2е*С”. (1)
где k — целое число. Подставим в это уравнение общее выражение д по
формуле (2) § 18.22. Тогда мы будем иметь
2 (V+с? ьр!*<+2 (У — с)! =
= 22 е,»/*«'«+22 М*-**-=
hi hi
§ 18.25. Уравнение для определения с как функции ш
413
Приравнивая коэффициенты при C2j/+c> мы получаем
(2/ 4 с)2 bj — ^Qj. (2)
Аналогично, приравнивая коэффициенты при находим
(2/-с)2</у = 29у_г</,
или, заменяя / на —/и /на —/и вспоминая, что 9_* = в*.
{2j+cfd_i='^lQhld_i. (3)
Уравнение, служащее для непосредственного определения с в виде функции ш,
получается путем исключения коэффициентов Ъ из бесконечной системы
линейных уравнений (2). Это же уравнение можно получить, если из
бесконечной системы линейных уравнений (3) исключить величины
d. Поэтому мы можем рассмотреть лишь систему (2),
которую запишем в виде
• • • - в2й,_2 - 9,йу_, + [(с + 2/)2 - 0О] Ь, -
— ®ify+i— 02fy+2—...=0. (4)
Каждое уравнение этой системы разделим на 4Р — 90. Полагая
последовательно /=..., —2, —1, 0, +1, +2 мы получим совокупность линейных
уравнений относительно коэффициентов Ь. Если мы допустим, что к
бесконечной системе уравнений (4) применимо правило, которое обычно
используется при решении конечной системы, то, исключая величины Ь,
получаем уравнение
Д(с) = 0, (5)
где через А (с) обозначен следующий симметричный определитель
бесконечного порядка:
4(с>=
(с-4)»-в0 в| в, в. в,
4»-в0 4>-в, 4’-е0 4»-в, 4*—в, -
в, (с — 2)»—в0 в, в,
1 ?S 1 о® 2»-е„ 2»-в0 2»-в, 2»-в0
в» в. с»-в0 в. в,
о»-е„ о»-е0 о»-е0 о»-в0 О3 —в0
в, в, (с + 2)»—в0
2»-в0 2»-е, 2»-в0 2»-во Ф 1 Si 1
в. в. в, в| (с + 4)»—в.
4а —в„ 4>-е0 4»-в, 4»—в. 4»-ё0 ?”
Очевидно, что уравнение (5) имеет бесконечное число корней. Однако тот
корень, который мы ищем, лежит вблизи единицы, и приближенное его
значение, найденное § 18.14, равно 1+m — ^т2.
414
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Заметим, что бесконечные определители были впервые введены в математику
Хиллом в связи с настоящим исследованием. Мы будем предполагать, что этот
определитель сходится. В результате деления (4) на 4J2 — 0О элементы
определителя, лежащие на главной диагонали, будут стремиться к единице
при J, стремящемся к бесконечности, если с является заданной величиной.
§ 18.28. Корни уравнения Л(с) = 0
1) Если с0 — корень уравнения Д(с) = 0, то —с0 будет также корнем этого
уравнения. Если в уравнении (4) § 18.25 заменить J на —J, то ми получим
... — 02b-j 2 — “Ь Кс — 2/)2 — в01 b_j — 0]^_^+i —. •. = 0.
Коэффициент при b_f может быть записан в виде [(—c)-f-2/]2— 0О, и
